椭圆的参数方程

1椭圆的参数方程教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：椭圆的参数方程。教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.教学方式：讲练结合，引导探究。教学过程：一、复习焦点在x轴上的椭圆的标准方程：22221(0)xyabab焦点在y轴上的椭圆的标准方程：22221(0)yxabab二、椭圆参数方程的推导1.焦点在x轴上的椭圆的参数方程因为22()()1xyab，又22cossin1设cos,sinxyab，即acosybsinx，这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。2.参数的几何意义问题、如下图，以原点O为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆。设A为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B。过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.2设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(x,y)。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点A,B均在角的终边上，由三角函数的定义有||coscosxOAa，||sincosyOBb。当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是acosybsinx这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。在椭圆的参数方程中，通常规定参数的范围为[0,2)。思考：椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程rcosyrsinx中参数的意义类似吗？由图可以看出，参数是点M所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点M的离心角），不是OM的旋转角。参数是半径OM的旋转角。3.焦点在y轴上的椭圆的参数方程2222y1,bax三、例题分析例1.把下列普通方程化为参数方程.()为参数cosyasinxb()为参数22(1)149xy22(2)116yx2264100(4)1yx22925(3)1yx3变式：把下列参数方程化为普通方程例2.已知椭圆22221(0)xyabab,求椭圆内接矩形面积的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos,sin)ab4cossin2sin22Sababab矩形()224kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab221210094xyMMxy在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求例3、出最小距离解：因为椭圆的参数方程为3cosy2sinx（为参数）所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)。由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy3cos(4)5sinxy8cos(3)10sinxy4221,125162xyxyzxy变式：与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数满足的前提下，求出的最大值和最小值吗？由此可以提出哪些类似的问题？222(,)23122Pxyxyxy变式、设是椭圆上的一个动点，求的取值范围。221,646cos{(02)2sin26cos4sin22cos()cos()[1,1]2[22,22]xyxyxyxy解：椭圆的方程可化为它的一个参数方程为为参数，四、课堂练习4cos{()23sin()31xPyOPOP是椭圆为参数上一点，且在第一象限，为原点的倾斜角、为，则点的坐标为44(2,3),(5,15)55AB、、(23,3),(4,3)CD、、答案：B52223sintan33334cossin2cos525sincos1,cos,sin55454154cos,23sin55OPOPyOPkkxPxy解：的倾斜角为又又且点在第一象限从而有2224cos2sin3cos0,()____________________?2.xyxy已知圆的方程为为参数，那么圆心的轨迹的普通方程为22222224cos2sin3cos0(2cos)(sin)12cos{()1sin4xyxyxyxxyy解：方程，可以化为所以圆心的参数方程为为参数，化为普通方程是五、课堂小结：本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，六、课后作业：课本P34页1、2.七、板书设计八、教学反思：1.由于学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教学中采用教师讲解的方法，只有学生理解就可以了；2.通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。椭圆的参数方程1.椭圆的参数方程3.例题分析2.参数的几何意义