空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线C由参数方程的形式给出：)()()(tzztyytxx，),(t．设),(,10tt，)(),(),((000tztytxA、))(),(),((111tztytxB为曲线上两点，BA，的连线AB称为曲线C的割线，当AB时，若AB趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点A的切线．如果)()()(tzztyytxx，，对于t的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C为光滑曲线），则曲线在点A切线是存在的．因为割线的方程为)()()()()()()()()(010010010tztztzztytytyytxtxtxx也可以写为001000100010)()()()()()()()()(tttztztzztttytytyytttxtxtxx当AB时，0tt，割线的方向向量的极限为)(),(),(000tztytx，此即为切线的方向向量，所以切线方程为)()()()()()(000000tztzztytyytxtxx．过点)(),(),((000tztytxA且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点)(),(),((000tztytxA的法平面，法平面方程为0))(())(())((00'00'00'zztzyytyxxtx如果空间的曲线C由方程为)(),(xzzxyy且)(),(0'0'xzxy存在，则曲线在点)(),(,(000xzxyxA的切线是)()()()(100000xzxzzxyxyyxx法平面方程为0))()(())()(()(00'00'0xzzxzxyyxyxx如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组0),,(0),,(:zyxGzyxFc，确定时，假设在),,(000zyxA有0),(),(AzyGFJ，在),,(000zyxA某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组0),,(0),,(zyxGzyxF，在点),,(000zyxA附近能确定隐函数)(),(xzzxyy有)(),(0000xzzxyy，),(),(1,),(),(1xyGFJdxdzzxGFJdxdy。于是空间的曲线C在点),,(000zyxA的切线是AAdxdzzzdxdyyyxx0001即AAAyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000zzyxGFyyxzGFxxzyGFAAA类似地，如果在点),,(000zyxA有0),(),(AyxGF或0),(),(AxzGF时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。所以，当向量0}),(),(,),(),(,),(),({AAAyxGFxzGFzyGFr时，空间的曲线C在),,(000zyxA的切线的方向向量为r例6.32求曲线bzayax,sin,cos在点ba,0,处的切线方程．解当时，曲线过点ba,0,，曲线在此点的切线方向向量为babaa,,0|,cos,sin，所以曲线的切线方程为btzzatyytxx)()(0)(000．即bbzayax0．二、空间曲面的切平面与法线设曲面S的一般方程为0),,(zyxF取),,(0000zyxP为曲面S上一点，设),,(zyxF在),,(0000zyxP的某邻域内具有连续偏导数，且0),,(),,(),,(000200020002zyxFzyxFzyxFzyx。设c为曲面S上过),,(0000zyxP的任意一条光滑曲线：)()()(:tzztyytxxc设)(),(),(000000tzztyytxx，我们有0))(),(),((tztytxF上式对t在0tt求导得到0)(),,()(),,()(),,(0'0000'0000'000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx因此，曲面S上过),,(0000zyxP的任意一条光滑曲线c在),,(0000zyxP点的切线都和向量)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面S在),,(0000zyxP的切平面，向量n称为法向量。S在),,(0000zyxP的切平面方程是0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx过点),,(0000zyxP且与切平面垂直的直线称为曲面S在),,(0000zyxP点法线，它的方程为),,()(),,()(),,()(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx设曲面S的方程为0),,(zyxF若),,(zyxF在S有连续偏导数且0),,(),,(),,(000200020002zyxFzyxFzyxFzyx，则称S是光滑曲面。由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面S的方程的表示形式为),(yxfz，这时，容易得到S在),,(0000zyxP的切平面方程为0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法线方程为1)(),()(),()(0000000zzyxfyyyxfxxyx我们知道，函数),(yxfz在点),(00yx可微，则由Taylor公式知))()((0))(,())(,(),(),(202000000000yyxxyyyxfxxyxfyxfyxfyx也就是说，函数),(yxfz在点),(00yx附近可以用S在),,(0000zyxP的切平面近似代替，误差为2020)()(yyxx的高阶无穷小。若曲面S的方程表示为参数形式),(),(),(:vuzzvuyyvuxxS设),(),,(),,(000000000vuzzvuyyvuxx，),,(0000zyxP为曲面上一点。假设在),,(0000zyxP有0),(),(0PvuyxJ，在),,(0000zyxP某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组),(),(vuyyvuxx，在点),,(0000zyxP附近能确定隐函数（即x和y的逆映射）),(),,(yxvvyxuu满足),(),,(000000yxvvyxuu。于是，曲面S可以表示为)),(),,((),(yxvyxuzyxfz由方程组),(),(vuyyvuxx，两边分别同时对yx,求偏导得到),(),(),(),(),(),(,),(),(vuyxuxyvvuyxvxyuvuyxuyxvvuyxvyxu故,),(),(),(),(),(),(),(),(vuyxvuxzvzuzfvuyxvuzyvzuzfyvyuyxvxux所以，S在),,(0000zyxP的切平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(0),(0),(0),(000000zzvuyxyyvuxzxxvuzyvuvuvu法线方程为),(0),(0),(0000000),(),(),(),(),(),(vuvuvuvuyxzzvuxzyyvuzyxx例6.33求曲面zxyzln在点)1,1,1(的切平面和法线方程。解曲面方程为0ln),,(zzxyzyxF，易得}2,1,1{n切面方程为0)1(2)1()1(zyx即02zyx.法线方程为211111zyx习题6.61．求曲线taztaaytaaxsin,cossin,coscos在点0tt处的切线和法平面方程．2．求曲线06222zyxzyx在点)1,2,1(处的切线和法平面方程．3．求曲面xyzarctan在点)4/,1,1(的切平面和法线方程。4。证明曲面)0(3aaxyz上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。5．证明曲面)(xyxfz上任意一点的切平面过一定点。第七节极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义6.3n元函数),,,(21nxxxf在点),,,(002010nxxxP的一个邻域)(0PUnR内有定义。若对任何点)(),,,(021PUxxxPn，有)()(0PfPf或（)()(0PfPf）则称n元函数),,,(21nxxxf在),,,(002010nxxxP取得极大（或极小）值，),,,(002010nxxxP称为函数),,,(21nxxxf的极大（或极小）值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得n元函数),,,(21nxxxf的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。定理6.28若),,,(002010nxxxP为n元函数),,,(21nxxxf的极值点，且),,,(21nxxxf在),,,(002010nxxxP的一阶偏导数存在，则),,,(002010nxxxP为n元函数),,,(21nxxxf的驻点。证考虑一元函数)2,1)(,,,,()(001nixxxfxnii，则ix是)(ix的极值点，Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是0),,,,()(001'nixixxxfxi和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理6.29若),(000yxP为二元函数),(yxf的驻点，且),(yxf在),(000yxP的一个邻域)(0PU2R中有二阶连续偏导数。令),,(),,(),,(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx2BACCBBAQ，则（1）当0Q时，若0A，),(yxf在),(000yxP取极小值；若0A，),(yxf在),(000yxP取极大值；（2）当0Q时，),(yxf在),(000yxP不取极值；（3）当0Q时，),(yxf在),(000yxP可能取极值，也可能不取极值。例6.34求函数)6(32yxyxz的极值。解解方程组0)4318(0)2312(223yxyxyzyxxyxz得驻点为)3,2(0P及直线0,0yx上的点。对)3,2(0P点有0,144,108,1622BACCBA，于是函数z在)3,2(0P取积大值108)(0Pz。容易判断，满足条件600yx的点为函数z的极小值点，极小值为0；满足条件的00yx和60yx的点为函数z的极大值点，极大值为0。一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、一元函数设)(xfy是定义在闭区间],[ba上的连续函数，则)(xf在],[ba上一定有最大值和最小值。区间的两个端点a和b可能成为其最值点，而如果最值点在开区间),(ba取得的话，则一定是)(xf的极值点，即是)(xf的驻点或是使导数)('