上海交通大学-大学物理ppt--平衡态的统计性质.

1SKIP2第七章平衡态的统计性质§7.4能量均分定理与气体内能§7.3玻耳兹曼分布律§7.2麦克斯韦速率分布律和速度分布律SKIP§7.1平衡态统计基本概念3一、物质的分子构成与分子力(1)宏观物体是由大量的无规则运动的分子构成的；(2)分子间存在着相互作用——分子力。表现为：(a)切开的铅柱再合起来；洁净的光学元件的“粘和”etc——吸引力(b)固体、液体的不可压缩性——排斥力126()4aaUrrrε⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦一般气体分子热运动的概念：（因此，只能用统计的方法来研究宏观与微观量间的联系）分子的密度3×1019个分子/cm3=3千亿个亿；分子热运动的平均速度约v=500m/s；分子的平均碰撞次数约z=1010次/秒。™§7.1平衡态统计基本概念4两个分子之间的相互作用力r0称作分子有效半径(d)~10-10ms有效作用距离~10-9m分子“互不穿透性”rf(r)r0srmrf(r)r0∞=f0=f理想气体™5二、理想气体微观模型分子数目太多，无法解这么多的联立方程。因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变，必须用统计的方法来研究。•分子当作质点，不占体积；（因为分子的线度分子间的平均距离）•分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。（忽略重力）•服从牛顿力学；弹性碰撞（动能不变）一般气体分子热运动的概念分子的密度3×1019个分子/cm3=3千亿个亿；分子热运动的平均速度约v=500m/s；分子的平均碰撞次数约z=1010次/秒。6三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性7三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性8三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性9三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性10三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性11伽耳顿板三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性12伽耳顿板三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性13定义:某一事件i发生的概率为PiNi——事件i发生的次数N——各种事件发生的总次数大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性——统计规律。NNPiNilim∞→=**扔硬币，轮盘赌博机等等。三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性14xNNxxΔΔ=→Δlim01)(ρxNNdd1=三、对气体分子的统计假设1。随机事件与统计规律性1516（3）总是伴随着涨落!统计规律有以下几个特点：（1）只对大量偶然的事件才有意义（量变到质变）；（2）个别事件具有偶然性；统计规律是必然的（“确定的”）；™172。对大量分子组成的气体系统的统计假设dVdNn=dV——体积元（宏观小，微观大）2)平衡态时分子的速度按方向的分布是各向同性的（几率相同）3)平衡态时分子按位置的分布是均匀的，即分子数密度到处一样(不受重力影响时)；1)分子的速度(大小)各不相同，而且通过碰撞不断变化着；NNNxx21(a)==−+0(b)===zyxvvvENDVN=222zyxvvv==231v=∑∑=iiixiixNvNv∑∑=iiixiixnvnv222222zyxvvvv++=∑∑=iiixiinvn18§7.2麦克斯韦速率分布律与速度分布律数学家及物理学家，是现代电学的奠基人；热力学、统计物理的创建者之一。1859年，他发表了第一次用概率的数学概念导出的平衡态下气体分子速率分布定律，用分子的刚性球模型，研究了气体分子的碰撞和内摩擦等输运过程，从理论和实践两方面为分子运动论的确立和发展做出了杰出贡献。JamesClerkMaxwell19单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律，是“确定的”，——麦克斯韦速率分布律。不能说处于哪个速率的分子数多少，用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适。设总分子数N，速率区间v~v+Δv内分子数ΔN一、麦克斯韦速率分布律－占总数比率NNΔ有关和与vvNNΔ−Δ)(较小时vvNNΔΔΔ∝20速率分布函数vvfNNvvΔ=Δ→Δ→Δ)(limlim00在Δv趋于零时，有如下等式：vvfNNd)(dor＝vNNvNNvfvddlim)(0=ΔΔ=→Δ表示在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。——麦克斯韦速率分布律kTmvvkTmvf2/22/32eπ2π4)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21——麦克斯韦速率分布律kTmvvkTmvf2/22/32eπ2π4)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=vf(v)f(vp)vp22最概然速率vp由f'(v)=0从图中可以看出：速率分布函数有一个极大值，说明在该处附近出现的分子数多。vf(v)f(vp)vppmol22kTRTvmM⇒==23∫∞0d)(vvf归一化条件1=vf(v)f(vp)vp∫≡NNN0d1d)(0=∫∞vvfdNN=vv+dv面积vvfd)(=总面积：24(1)温度越高，速率大的分子数越多f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp11dd)()2(00==∫∫∞NNNvvf25*就单个分子来讲，我们只能说它处在某速率区间的可能性——几率——有多大。vvfd)(称为单个分子处于[v,v+dv]内的几率。vvNfd)()(vf称为单个分子处于速率v附近单位速率区间内的几率。——几率密度为速率区间[v,v+dv]内的分子数。Nd=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=NNNd26•平均速率平均速率在讨论如碰撞、扩散、热传导等输运过程问题中有重要作用。NvvNii∑==1∫=NNNv0d∫∞=0d)(vvvfmol88ππkTRTvmM⇒==NNvjjj∑Δ=27•方均根速率方均根速率反映物体内部热运动的剧烈程度，与物质分子的平动动能有关。Nvvii∑=22NNv∫=d2∫∞=02d)(vvfvmkT3=2mol33kTRTvmM⇒==NNvjjj∑Δ=228例1、氦气、氧气分子数均为N，Heo22TT=速率分布曲线如图，且阴影面积为S,哪条是氦气？PHePO2vvov的意义[]vvfvfNvd)()(0AB∫∞−对应的物理意义求：(1)(2)(3)(4))(vfvovABo2922OHeOHeTMMT=对应于两种气体分子速率大于vo的分子数差！是氦气B(2)2POPHevv(1)ovv=时两种气体分子分布几率相同。(3)(4)[]vvfvfNvd)()(0AB∫∞−解：)(vfvovABo21=MRTv2p=()SN−=1SKIP30例2设A,B两种理想气体的分子数分别为和，某一温度下，其各自的速率分布函数分别为和，试问在此温度下，由A和B组成的系统的速率分布函数如何？ANBN)(vfA)(vfB)(vf,dd)(vNNvfAAA=vNNvfdd)(=BABBAANNvfNvfN++=)()(vvfNNAAAd)(d=vvfNNBBBd)(d=解：按定义vNNvfBBBdd)(=考虑在速率区间的分子数：]d,[vvv+vvNfNd)(d≡vNNvvfNvvfNBABBAAd)(d)(d)(++=BANNdd+≡31例3假设有N个电子组成的电子气，其速率分布函数与v的关系如图所示（1）求a的大小（用表示）；（2）求间粒子的平均速率；（3）求全部粒子的平均速率。)(vf0,vN00v→解：∫=020d)(1vvvf01va/=∫∫=0000d)(d)(vvvvNfvvvNfv∫=020d)(vvvvfv（1）由归一化条件av⋅=0221（2）按定义032v=∫∫=000200202d)/(d)/(vvvvvvvv⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤−≤≤=vvvvvvvavvvvavf00000002202),(,)(（3）0v=∫=00d)(vvvvf∫+002d)(vvvvvf∫∫=0000d)(d)(vvvvfvvvfv32类似于分子速率分布函数的定义，定义速度分布函数：zyxzyxvvvvvvFNNddd),,(d=二、麦克斯韦速度分布函数]d,[vvv+)d,d,d(zzzyyyxxxvvvvvvvvv+→+→+→设在速度区间内的分子数为dN速度分布函数or)(),,(vFvvvFzyxMaxwell1859年给出了的具体形式：)(223222e)π2(),,(zyxvvvkTmzyxkTmvvvF++−=2223e)π2(),,(vkTmzyxkTmvvvF−=从形式上看：速度分布函数只与速度大小有关，而与速度方向无关！这是在平衡态下，分子沿任意方向运动机会(几率）均等的必然之结果。1ddd),,(=∫∫∫zyxzyxvvvvvvF速度分布函数明显满足归一化条件33设在速度分量区间vx~vx+dvx内的分子数为dNxdNxN=f(vx)dvx速度分量分布函数f(vx)=m2πkT1/2e-mv/2kT2x对y、z分量有类似结果！)(223222e)π2(),,(zyxvvvkTmzyxkTmvvvF++−=速度分布函数∫f(vx)dvx=1+∞-∞满足xvvzyzyxvvvvvvFzyddd),,(,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫∫∫∫=zyvvzyxzyxvvvvvvF,ddd),,(34*从Maxwell速度分布函数导出速率分布函数*速度空间xvyvzvo如果不考虑速度的方向因素的话，速度分布就转化为速率分布。气体速度在三个独立方向的分量取值都在之间。),(+∞−∞三维速度空间(如图所示）。zyxzyxvvvvvvFNNddd),,(d=表示单个分子处于速度空间中“小体元”内的几率大小。vzyxvvvddd因速度分布函数与速度方向无关，则).(),,(vFvvvFzyx≡即F(v)对速度空间原点是球对称的！速率区间[v,v+dv]在速度空间对应于一个内外半径为v和v+dv的球壳35vxvyvzvozyxvvvdddvvNfNd)(d=速率区间[v,v+dv]内的分子数即为该球壳内的分子数。),,(π4)(2zyxvvvFvvf=)dπ4)(,,(2vvvvvNFzyx≡球壳体积2223e)π2(),,(vkTmzyxkTmvvvF−=22232e)π2(π4vkTmkTmv−=——与前表示相同！按定义：361。平均速度∑vixNiNvx=同理：对y、z分量，平均速度也为零。问题讨论=0——这是在平衡态下，分子沿任意方向运动机会(几率）均等的必然之结果。=∫vxf(vx)dvx+∞-∞f(vx)=m2πkT1/2e-mv/2kT2x372。沿某一方向(如x正方向）运动的分子数。∫∫∫+∞+∞∞−+∞∞−=+0ddd),,(zyxzyxxvvvvvvNFN∫+∞=0d)(xxvvNf2N=这与本章开始时的假设：在平衡态下，分子沿任意方向运动机会(几率）均等的推论是吻合的！或者说：在平衡态下，分子的运动没有哪个方向比其它方向更占有优势！∫+∞=0d)(xxvvfN383。单位时间内气体分子与单位器壁表面碰撞的次数先考虑dt时间内打到dA面积上的分子数目(分子数密度n）tvxdtvdAdxv速度在v~v+dv内的分子数密度()zyxzyxvvvvvvFnddd),,(dt时间内打到dA面积上的分子为斜柱体内的分子——体积)dd(tAvxzyxzyxxvvvvvvFnvddd),,(d=ν∫∫∫+∞+∞∞−+∞∞−=0ddd),,(zyxzyxxvvvvvvFnvν只有vx0的才打到器壁上单位时间内在速度区间v-v+dv内的气体分子与单位器壁表面碰撞的次数39∫∫∫+∞+∞∞−+∞∞−=0ddd),,(zyxzyxxvvvvvvFnvν只有vx0的才打到器壁上∫+∞=0d)(xxxvvfnv∫∫∫+∞+∞∞−+∞∞−=0ddd),,(zyxzyxxvvvvvvFnvν∫+∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=022/1deπ22xxkTmvvvkTmnx2/1π2⎟⎠⎞⎜⎝⎛=mkTn40∫+∞=0d)(xxxvvfnv∫∫∫+∞+∞∞−+∞∞−=0ddd),,(zyxzyxxvvvvvvFnvν∫+∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=022/1deπ22xxkTmvvvkTmnx2/1π2⎟⎠⎞⎜⎝⎛=mkTn与平均速率相比2/1π8⎟⎠⎞⎜⎝⎛=mkTv2