解析几何常用知识点总结

“解析几何”一网打尽（一）直线1.2112122tan0xxxxyykl，，，直线的倾斜角2.直线的方程（1）点斜式11()yykxx(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).特别的：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或；已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k存在时，为k的倒数)或.知直线过点，常设其方程为或(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.3、几个距离公式（1）两点间距离公式：2211221212(,)(,)()()AxyBxyABxxyy点点(2)00(,)xyP到直线0AxByC的距离为0022AxByCdAB特别地，当直线L:0xx时，点P(00,xy)到L的距离0dxx；当直线L:0yy时，点P(00,xy)到L的距离0dyy.(3).两平行线间的距离公式：设12112222:0,:0,CClAxByClAxByCdab则4.两直线的位置关系：；；重合5.三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.bykxb0x0x0xmyxm0y00(,)xy00()ykxxy0xx112121212121()0llkkkkAABB、都存在时1212211212121221//()kkABABllkkbbACAC、都存在时（二）圆1.圆的三种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr.（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).（3）圆的直径式方程1212()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)Axy、22(,)Bxy)注意：（1）.圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。（2）.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）求圆心到直线的距离与圆的半径比较；（2）直线方程与圆的方程联立，看判别式。2.点P(00,xy)和圆222()()xaybr的位置关系：（1）当22200()()xaybr时，点P在圆外;(2)当22200()()xaybr时，点P在圆上；(3)当22200()()xaybr时，点P在圆内.3.直线和圆的位置关系：直线与圆相交0dr(d为圆心到直线的距离)直线与圆相切=0d=r直线与圆相离0dr.4.圆与圆的位置关系：设圆1o的半径为1r，圆2o的半径为2r，两圆的圆心距为d,当12drr时，两圆相离；当12drr时，两圆外切；当1212rrdrr时，两圆相交；当12rr=d时，两圆内切;当12rrd时，两圆外离；当12rrd时，两圆内含。注意：（1）若两圆相交时，把两圆的方程作差消去2x和2y就得到两圆的公共弦所在直线的方程。（2）圆的弦长公式22lrd（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）（3）求圆外一点P到圆O上任一点距离的最小值为POr，最大值为POr（其中r为圆的半径）（三）圆锥曲线1、椭圆：（1）定义：平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．（2）椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2注意：(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值，且最大距离为ac，最小距离为ac。(2)过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为22ba.把这个弦叫椭圆的通经.(3)求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个齐次方程，在结合222bac就可求出e（01e）.2、双曲线（1）.双曲线的定义：平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．（2）.双曲线的标准方程和几何性质：标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)注意：(1)直线和双曲线交于一点时，不一定相切，例如，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.(2)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即22220xyab就是双曲线22221xyab的两条渐近线方程.(3)若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不纯在的情况.3、抛物线（1）抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．（2）抛物线的标准方程和几何性质：图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下注意：(1)过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．(2)焦半径公式：若点00,xy在抛物线220ypxp上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220ypxp上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220xpyp上，焦点为F，则02pFy；若点00,xy在抛物线220xpyp上，焦点为F，则02pFy．(3)焦点弦问题：设AB是过抛物线22ypx焦点的弦.1122(,),(,),AxyBxy则2124pxx；212yyp；12ABxxp4.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）弦长公式PPkxxxx1221221214114212212kyyyy