北航电磁场与电磁波课程习题答案4

44-2由于E，所以，若已知则可求E。该结论是否正确？若已知V100)0,0,0(，能否求出)0,0,0(E？解：该结论是错误的，因为电场E反映了电位函数在空间的变化情况，故只有知道电位在空间的变化函数)(r时，才可求出电场E。而只知道某点处的电位值，是无法求出电位在空间的变化情况的。正如我们在数学中学到的，如果求函数在某点的导数值，应先对该函数求导，后将坐标值代入。即：)]([][)0,0,0()0,0,0()0,0,0(E4-3由E，能否根据E分布求出分布？为什么？解：根据E分布，求分布时，还应注意电位参考点的问题。由于静电场是保守场，所以，由E，可求出某两点21PP间的电位差为：2122PPPPSdE若选择1P点为零电位参考点，即：01P，则空间任一点相对于1P点的电位分布为222PPPSdE4-4已知21)(srr，求)(rE解：)/(ˆ2)1(ˆˆ)()(33MVirrZirirrEsssrssrsr4-5已知在XOY面上有三个点电荷，,1)0,(,2),0(1)0,(321caqcaqcaq求：)(rE解：根据点电荷电位公式和场的叠加原理,141011srq21222])[(1zyaxrs,142022srq21222])([2zayxrs,143033srq21222])[(3zyaxrs321ˆzzzEˆˆ)/()](ˆ)(ˆ)(ˆ[413213213213333333330ˆMVrzrzrziryrayryiraxrxraxiEssszsssysssxz4-6为何要引入参考电位？若不引入参考电位会有什么后果？答：引入参考电位就是为了在系统内引入一个最基本的电位标准点，整个系统内任何一点的电位都是以此为基准的，是相对于此点的电位。如果没有这样一个参考电位，则整个系统无标准可循，电位分布没有唯一解。4-7对于图4-6所示的线电荷环，在下列两种情况下，求其轴线上的电位和电场分布：（1）0（常数）)/(MC(2)cos0)/(MC解：系统示意图如图4-7-1所示。这是一个已知空间电荷分布，求电位与电场的问题。由于电荷是分布在空间有限域内，所以，我们可以用CQQQPQdSrr)(410来求解。首先看第一种情况（1）0)/(MC可求得)(2z441220020220000VZRRdRRdSrCQP下面我们来求电场，我们已经讲过，用电位求电场时必须在知道电位的空间表达式时，由E求得的电场才是正确的。下面我们分析一下，此时，能否用E由求E。由对称性，我们可以知道，0的圆环在z轴上产生的电场只有z方向上的分量。而上面求得的又正好给出了电位在z轴上随z的全部变化关系，故可使用E通过求得z轴上的电场E来。即：)/(2ˆ2200MVzRzRiEz0时，z轴上的电位和电场分布为V)(22200zRRV/M)()2(ˆ32200zRzRiEz下面再来看第二种情况。（2）)/(cos0MC不难求得V)(0cos4202200dzRR这个结果是不难理解的。由于此时，园环上的电荷分布具有相对于yoz平面的奇对称性，所以，整个yoz平面都是零等位面，显然，z轴的电位也应是等于零的。那么，z轴上的电场呢？只需简单分析一下，便会知道，在0x的半空间有负电荷分布，在0x的半空间有正电荷分布，显然，0x处电场应是指向负x轴负方向的，而前面求得的只反映了在z轴方向电位保持常数。并未给出电位随x变化的关系，因此，不能再用E来由求E了，那么，如何求z轴上的电场E呢？方法有两种，一种是求出空间任一点出的位函数，对求负梯度得到E，进而得到z轴上的电位和电场。另一种方法是，直接求带电园环在z轴上产生的电场。有兴趣的读者，可以练习用第一种方法求解，下面我们采用第二种方法求解。首先在带电圆环1P点处取一微元dS,则其在z轴上产生的电场在z处为：)/(4cosˆ4ˆ2020MVrRdirdsiEdPzPz其中，Pziˆ为由1P点指向z点的单位矢径。r为P点到z点的距离。由于z轴上的电场只有xiˆ方向的分量，即xExiˆ-z)(0,0,E因此，我们只要计算xdE就可以了。由坐标关系可知cos)(4cos222200zRRRzRddEx所以，232202020)(4RzRdEExx)/()(4ˆ),0,0(2322020MVRzRizEx4-8长为4a的均匀线电荷，弯成正方形后，若电荷分布不变，求该正方形轴线上的电位和电场分布。解：设：电荷线密度0对于z轴来讲，各段所处的状况相同，所以，各段在P点产生的电位相等，2220000)2(1414zaxdlrdldQPPQ根据电位的叠加原理。2222200)2(44aazyady合22])2(ln[4422200aazayy]22[]22[ln222200zaazaa合合E)/(]4[24ˆ2222200MVzazaaziEz合4-9导出二维格林定理和二维平均值定理。解：面散度公式定义为：AadSiAcnaˆlim0，其中niˆ为面dS的法向方向，C是面积S的闭合边界。SCndaAdSiAˆ设fA，其中,f为两标量。SSCndaffdafdSif)()(ˆ)(2：二维格林第一定理同理，当fA时，SCndaffdSif)(ˆ)(2两式相减，则dafdSiffSCn)(ˆ)(22：二维格林第二定理推导二维平均值定理：作如图所示的圆，使用第二格林定理，取),(rf由于在我们所讨论的区间里，满足拉氏方程02。同此可得：SCndadSi)(ˆ)(2取rln，但由于rln在P点不收敛，为了符合格林定理的条件，我们从S中提出一个小块S，它是以P点为球心，为半径的圆面S所包围的小圆面。SSCCndardSirr)1(ˆ)ln(ln2)(0ln2r0ˆ)ln(ln)(CCndSirr0lnˆlnˆ)(ln2SSnCndadSidSirSCCndaRdSir0lnˆ)(ln2CnCndSirdSirˆ)ln(ˆ)ln(rirrˆ1ln，且在C边界rniiˆˆ，在C边界上，rniiˆˆCCndSRdSir1ˆ)ln(2)(1ˆ)ln(PdSirSn（由积分中值定理得出）。当)(2)(1lim0PPCPdSR21（二维平均值定理）4-10两条线电荷密度大小等于)/(0MC，但符号相反的无限长，相互平行的均匀线电荷，当他们的距离0d，0，且保持d0常数时所得到的极限模型称为二维电偶极子，试求二维偶极子的电位和电场分布。解：我们知道，位于z轴的无穷长线电荷0在空间产生的电位场为Crcln200其中C为常数，且取决于电位参考点的位置，在不失一般性的情况下，我们建立如图4-10所示坐标系，取两线电荷所在平面为xoz平面，两线电荷的中心处为z轴，0指向0的方向为x轴，于是，可知，0和0线电荷在空间任一P处产生的电位为：0产生的位)(ln210011VrCc0产生的为)(ln220022VrCc1cr，2cr如图4-10所示。P点的总电位为Crrcc12ln2002121CCC其中C的大小与电位参考点有关，本题中，由对称性可知，选取0x处0，是方便的。这时即有0C)(ln21200Vrrcc当0d时，1cr，2cr近似为cos21drrcccos22drrcc代入中，有，)]cos21ln()cos21[ln(2cos21cos21ln2cos2cos2ln2000000ccccccrdrdrdrddrdr由于0d，故上式括号中的式子，具有)1ln(x，0x的形式，将)1ln(x在0x处展开，有2)1ln(2xxx)1ln(x-)1ln(x2222)22xxxxxx（当0x时，有，)1ln(x-)1ln(x2x令Crdx2cos，有，coscos22)cos21ln()cos21ln(CCccrdrdrdrd代入中，可得)(cos200VrdC若定义dPT0为二维电偶极子的电偶极子，则有，)(cos20VrPCT电场为)sin(2ˆ)cos1(2ˆ)ˆˆˆ(020CTCTrzCCrrPirPiziririECC20ˆˆ(cossin)(/)2CTrCPiiVMr4-11有一个线电荷密度为)/(0MC的均匀线电荷，分布在dzd的线段上，试求：(1)求出它在xoy面上的电位和电场分布。(2)求出它在空间各点的电位和电场分布，再将0z代入。看结果与（1）是否一致。(3)写出在xoy面上，drdrCC及时电位的非0近似表达式。由得出的表达式，可以得出什么结论？解:(1)求出在xoy面上的，E：由讲义（4-30）式，可知该线电荷在xoy面上产生的电位为)(]ln[20]ln[22422002220002220022200VrddrdzyxzzyxzdzyxzdCCddd由于线电荷的分布相对于xoy平面是对称的，所以可很容易判断，其在xoy平面上产生的电场只有Cr分量，由于中已包括了电位随Cr变化的关系。故可用E来求出xoy平面上的电场E。即)/(2ˆ2200MVdrrdiECCrxoyxoyC所以，线电荷在xoy平面上产生的电位和电场为：)(]ln[22200VrddrCC)/(2ˆ2200MVdrrdiECCrC(2)求在空间各点产生的电位和电场分布，再将z=0代入看与(1)的结果是否一致。首先在线电荷上z处取一电荷元zd0，它在P点处产生的电位为：2122200])([4zzyxzddP点的总电位为)()d(d-z)d(ln4)d(d-z)d(ln4])()ln[(4)(4222200222222002220022200VzrzrdzzyxzyxdzddzzyxzzzzyxzddCCdddd当0z时，)()d(ln2)d(ln4dd-dln42200222200222200VrrdrrdrrdCCCCCC结果与（1）相同。全空间电场分布为：)/())(1)(1(