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专题三动点问题考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考题·体验感悟命题预测方法指导“动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线或弧线上运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一类开放性题目.对考生的观察能力和创新能力要求较高,题目的难度一般比较大,是安徽省中考试题的热点题型.预计这类题仍然是2018年中考的热点,解决这类问题的关键是动中求静,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考题·体验感悟命题预测方法指导1.有特殊位置点的动点问题:本类型问题中的动点往往和某些定点构成特殊的位置关系,利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等知识进行解题.2.几何图形中的动点问题:由动点引起某一线段长度变化(自变量),通过题目中提供的其他条件表示出另一线段或某一图形面积,从而构建两者之间的函数关系,再根据函数性质解题.3.函数图象中的动点问题:动点在某一函数图象上,当点运动到某一特殊位置时,某一线段长度或某一图形的面积达到最值,或与某些点构成一个特殊的图形;解题利用函数图象上点坐标的对应关系,用动点的坐标表示出要求图形的数量特征(如线段的长度或图形面积),再利用函数性质或方程进行求解.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三考查类型年份、题号考查点1.有特殊位置点的动点问题2017,102016,102015,20与AB平行且到AB距离为x的直线上,在此线上找一点到A,B两点距离之和的最小值.动点和两定点形成三角形,利用“三角形两边之差小于第三边”求解,动点在直线上,定点在直线外,利用“垂线段最短”进行解题考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三考查类型年份、题号考查点2.几何图形中动点问题2014,92012,9动点引起的两条变化的线段恰好是两相似三角形的两条边,利用相似形的性质构建函数关系.动点引起某一线段长度的变化,用变化的线段作为自变量表示出要求的面积构建出函数进行解题3.函数图象中的动点问题2016,222013,9用动点横坐标表示出面积构建出面积与横坐标的函数,再利用函数性质解题.用动点横坐标表示要判断的线段或线段的乘积构建出函数,再利用函数性质或方程进行求解考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三类型一有特殊位置点的动点问题例1(2016·安徽安庆一模改编)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.分析:由图可知动点A1和定点B,D构成一个三角形,当A1位于BD上时构成一条线段,根据这种特殊位置关系可得A1B≥BD-A1D,在Rt△BCD中求出BD的长,由折叠可得A1D=AD=1,便可求出A1B长的最小值.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三解:如图,连接BD,DE,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=5,由折叠知△A1DE≌△ADE,所以A1D=AD=1.由A1B+A1D≥BD,得A1B≥BD-A1D=5-1.故A1B长的最小值是5-1.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三类型二几何图形中的动点问题例2(2017·山东泰安)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为()A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三解析:设运动时间为ts,则AP=tcm,CQ=2tcm.∵AP=AB2-BC2=102-82=6cm,∴CP=(6-t)cm.∴△PCQ的面积为12PC·CQ=12(6-t)2t=(-t2+6t)cm2.∴四边形PABQ的面积为S=S△ABC-S△PCQ=12×6×8-(-t2+6t)=(t-3)2+15.∴四边形PABQ的面积的最小值为15cm2.答案:C考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三类型三函数图象中的动点问题例3(2016·安徽,22)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三分析:(1)把点A(2,4)与B(6,0)代入二次函数y=ax2+bx,建立方程组可求a,b的值;(2)连接CD和添加一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和,用动点C的横坐标表示出各个三角形面积,再求和,就构建成了面积S与x的函数,再利用函数知识求解.解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,解得a=-12,b=3.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析类型一类型二类型三(2)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD于点E,CF⊥x轴于点F.S△OAD=12OD·AD=12×2×4=4,S△ACD=12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=12BD·CF=12×4×-12x2+3x=-x2+6x,则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2x6),因为a=-10,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345671.(2017·山东枣庄)如图,直线y=x+4与x轴,y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD最小时,点P的坐标为(C)A.(-3,0)B.(-6,0)C.-32,0D.-52,023解析:作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.令y=23x+4中x=0,则y=4,∴点B的坐标为(0,4);令y=23x+4中y=0,解得x=-6,考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析1234567∴点A的坐标为(-6,0).∵点C,D分别为线段AB,OB的中点,∴点C(-3,2),点D(0,2).∵点D'和点D关于x轴对称,∴点D'的坐标为(0,-2).设直线CD'的解析式为y=kx+b,∵直线CD'过点C(-3,2),D'(0,-2),∴有2=-3𝑘+𝑏,-2=𝑏,解得𝑘=-43,𝑏=-2,∴直线CD'的解析式为y=-43x-2.令y=-43x-2中y=0,解得x=-32,∴点P的坐标为-32,0.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345672.(2017·江苏宿迁)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=2cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动,若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,则线段PQ的最小值是(C)A.20cmB.18cmC.25cmD.32cm解析:设运动时间为xs,则PC=(6-x)cm,CQ=xcm,∴PQ2=PC2+CQ2,即PQ2=(6-x)2+x2=2(x-3)2+18,∵0x≤2,∴当x=2时,PQ最小为2cm.5考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345673.(2017·山东莱芜)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,AD=5,CD=3,sinA=sinB=,动点P自A点出发,沿着边AB向点B匀速运动,同时动点Q自点A出发,沿着边AD—DC—CB匀速运动,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P运动t(秒)时,△APQ的面积为S,则S关于t的函数图象是(B)13考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析1234567解析:过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F.∵sinA=𝐷𝐸𝐴𝐷=13,∴𝐷𝐸5=13.∴DE=53.∴CF=DE=53.∵sinA=sinB,∴∠A=∠B.∴△ADE≌△BCF.∴BC=AD=5,AE=BF=52-532=1032.∴AB=AE+EF+BF=2×1032+3=2032+3,AD+CD+BC=5+3+5=13.∵2032+313,∴当点P到达终点B时,点Q在线段BC上,此时△APQ的面积为S0.当8t≤2032+3时,点Q在线段BC上,此时AP=t,AD+CD+CQ=t,∴CQ=t-8,∴BQ=5-(t-8)=13-t.过点Q作QG⊥AB于点G,则sinB=𝑄𝐺𝐵𝑄=13,考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析1234567∴𝑄𝐺13-𝑡=13.∴QG=13(13-t).∴△APQ的面积S=12AP·QG=12·t·13(13-t)=-16(t2-13t),其图象开口向下.又∵当点P到达终点B时,点Q在线段BC上,此时△APQ的面积为S0.∴由此可得答案选B.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345674.(2017·甘肃天水)如图所示,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的一点,且BE=1,P是对角线AC上的一动点,连接PB,PE,当点P在AC上运动时,△PBE周长的最小值是6.解析:连接PD,有PB=PD,△PBE的周长为PB+PE+BE=PD+PE+1,当D,P,E共线时,PD+PE最小,此时△PBE的周长最小,最小值为1+𝐶𝐸2+𝐶𝐷2=1+32+42=1+5=6.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345675.(2017·新疆生产建设兵团)如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动.在运动过程中,当运动时间为3s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18cm2.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析1234567解析:∵点E,F,G,H在四条边上的运动速度相同,∴AE=BF=CG=DH,在正方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,且AB=BC=CD=DA,∴EB=FC=GD=HA,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),∴S△AEH=S△BFE=S△CGF=S△DHG.设运动时间为t(s)时,四边形EFGH的面积为S(cm2),因为运动速度为1cm/s,∴AE=tcm,AH=(6-t)cm,∴S=S正方形ABCD-4S△AEH=62-4×12t·(6-t)=36-12t+2t2=2(t-3)2+18,由二次函数的性质,当t=3s时,S有最小值,最小值是18,即当运动时间为3s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18cm2.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析12345676.(2017·浙江金华)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,3),B(9,5),C(14,0),动点P与Q同时从O点出发,运动时间为t秒,点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动,点Q沿折线OA—AB—BC运动,在OA,AB,BC上运动的速度分别为3,(单位长度/秒).当P,Q中的一点到达C点时,两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数