2020中考数学大一轮复习课件14：二次函数的图象与性质

第一部分数与代数考点梳理归类探究课时作业第四单元函数及其图象第14课时二次函数的图象与性质考点梳理考点1二次函数的概念形如y＝(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做y关于x的二次函数．ax2＋bx＋c二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图象(a0)(a0)考点2二次函数的图象与性质[核心考点]开口方向开口向上开口向下对称轴直线x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a增减性当x－b2a时，y随x的增大而减小；当x－b2a时，y随x的增大而增大.当x－b2a时，y随x的增大而增大；当x－b2a时，y随x的增大而减小．最值当x＝－b2a时，y有最小值4ac－b24a.当x＝－b2a时，y有最大值4ac－b24a.考点3求二次函数的解析式[核心考点]三种形式适用条件及求法一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数的解析式为.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，则可设所求二次函数的解析式为.y＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h)2＋k交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则可设所求二次函数的解析式为.y＝a(x－x1)(x－x2)考点4二次函数图象的平移规律考点5二次函数与一元二次方程的关系关系1.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个解．2．一元二次方程根的判别式同样可以用于判断抛物线与x轴有无交点的情况：(1)b2－4ac0⇔抛物线与x轴有交点；(2)b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴有交点；(3)b2－4ac0⇔抛物线与x轴交点.两个一个没有归类探究类型之一二次函数的图象与性质1(2018·成都)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是()A．图象与y轴的交点坐标为(0,1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－3D【解析】∵y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3，∴当x＝0时，y＝－1.故选项A错误；该函数的对称轴是直线x＝－1.故选项B错误；当x－1时，y随x的增大而减小．故选项C错误；当x＝－1时，y取得最小值，此时y＝－3.故选项D正确．故选D.【点悟】二次函数的很多性质，比如对称轴、顶点坐标、最大(小)值、增减性等，都可以从顶点式的解析式中反映出来．【变式训练】1．(2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是()A．(1,3)B．(1，－3)C．(－1,3)D．(－1，－3)A【解析】二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)，∴y＝(x－1)2＋3的顶点坐标是(1,3)．故选A.2．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图14­1，下列说法错误的是()A．函数图象与y轴的交点坐标是(0，－3)B．顶点坐标是(1，－3)C．函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)，(－1,0)D．当x0时，y随x的增大而减小图14­1B【解析】A．∵y＝x2－2x－3，∴当x＝0时，y＝－3，∴函数图象与y轴的交点坐标是(0，－3)，故此选项说法正确；B．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标是(1，－4)，故此选项说法错误；C．∵y＝x2－2x－3，∴当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1，∴函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)，(－1,0)，故此选项说法正确；D．根据图象，当x0时，y随x的增大而减小，故此选项说法正确．故选B.类型之二二次函数图象的平移规律2(2018·南宁)将抛物线y＝12x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为()A．y＝12(x－8)2＋5B．y＝12(x－4)2＋5C．y＝12(x－8)2＋3D．y＝12(x－4)2＋3D【解析】y＝12x2－6x＋21＝12(x2－12x)＋21＝12[(x－6)2－36]＋21＝12(x－6)2＋3，故将y＝12(x－6)2＋3向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式为y＝12(x－4)2＋3.故选D.【点悟】二次函数图象的平移，实质上是顶点位置的平移，只要确定平移前后的顶点坐标，就可以在原抛物线的基础上写出平移后抛物线的解析式．【变式训练】3．(2019·济宁)将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式是()A．y＝(x－4)2－6B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－2)2－2D．y＝(x－4)2－2D【解析】y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得y＝(x－3－1)2－4＋2，即y＝(x－4)2－2.类型之三二次函数的解析式的求法3(2019·黄石节选)如图14­2，已知抛物线y＝13x2＋bx＋c经过A(－1,0)，B(5,0)两点．图14­2(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；(2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．解：(1)抛物线的解析式为y＝13(x＋1)(x－5)＝13(x2－4x－5)＝13x2－43x－53，顶点M的坐标为(2，－3)．(2)当x＝8时，y＝13x2－43x－53＝9.即点C的坐标为(8,9)．S四边形AMBC＝12AB(yC－yM)＝12×6×(9＋3)＝36.【点悟】(1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)当已知抛物线的顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求二次函数的解析式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．【变式训练】4．(2017·百色)经过A(4,0)，B(－2,0)，C(0,3)三点的抛物线的解析式是.y＝－38x2＋34x＋3【解析】根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)，把C(0,3)代入，得－8a＝3，即a＝－38，则抛物线的解析式为y＝－38(x＋2)(x－4)＝－38x2＋34x＋3.类型之四二次函数与方程或不等式的关系4(2018·云南)已知二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象经过A(0,3)，B－4，－92两点．(1)求b，c的值；(2)二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，请求出公共点的坐标；若没有，请说明情况．解：(1)把A(0,3)，B－4，－92分别代入y＝－316x2＋bx＋c，得c＝3，－316×16－4b＋c＝－92，解得b＝98，c＝3.(2)由(1)可得，该抛物线的解析式为y＝－316x2＋98x＋3.Δ＝982－4×－316×3＝225640，∴二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象与x轴有公共点．∵－316x2＋98x＋3＝0的解为x1＝－2，x2＝8，∴公共点的坐标是(－2,0)和(8,0)．【点悟】抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标x1，x2就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．判断抛物线与x轴是否有交点，只要判断b2－4ac与0的大小即可．另外，根与系数的关系对于抛物线仍然适用，即若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴两个交点的坐标分别为A(x1,0)，B(x2,0)，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，且抛物线与x轴的两个交点之间的距离为|AB|＝|x1－x2|＝x1－x22＝x1＋x22－4x1x2.【变式训练】5．(2018·襄阳)已知二次函数y＝x2－x＋14m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是()A．m≤5B．m≥2C．m5D．m2A【解析】∵二次函数y＝x2－x＋14m－1的图象与x轴有交点，∴Δ＝(－1)2－4×1×14m－1≥0，解得m≤5.故选A.6．(2019·济宁)如图14­3，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋cn的解集是.图14­3x－3或x1【解析】由所给的图象及抛物线的对称性可知，x－3或x1时，ax2＋c－mx＋n.类型之五二次函数的图象与系数之间的关系5(2018·恩施州)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图14­4，下列判断：图14­4①abc0；②b2－4ac0；③9a－3b＋c＝0；④若点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，则y1y2；⑤5a－2b＋c0.其中正确的个数为()A．2B．3C．4D．5B【解析】∵抛物线对称轴为x＝－1，抛物线经过点(1,0)，∴－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，∴b＝2a，c＝－3a.∵a0，∴b0，c0，∴abc0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac0，故②正确；由题意知，抛物线与x轴交于另一点(－3,0)，∴9a－3b＋c＝0，故③正确；∵点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，且对称轴为直线x＝－1，∴x＝－0.5与x＝－1.5对应的函数值相等．∵－1.5－2，∴y1y2，故④错误；5a－2b＋c＝5a－4a－3a＝－2a0，故⑤正确．故选B.【点悟】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与其系数有如下关系：【变式训练】7．(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图14­5所示，下列结论：①b24ac；②abc0；③2a＋b－c0；④a＋b＋c0，其中正确的是()图14­5A．①④B．②④C．②③D．①②③④A【解析】①∵图象与x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac0，即b24ac，①正确；②图象的开口向下，故a0，图象与y轴交于正半轴，故c0，∵对称轴为直线x＝－1，∴－b2a＝－1，∴2a＝b，故b0，∴abc0，②错误；③a0，b0，c0，∴2a＋b－c0，③错误；④当x＝1时，y＝a＋b＋c，由图可得，当x＝－3时，y0，由对称性可知，当x＝1时，y0，即a＋b＋c0，故④正确．综上所述，①④正确．故选A.课时作业1．(2019·重庆)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是()A．直线x＝2B．直线x＝－2C．直线x＝1D．直线x＝－1C【解析】二次函数的对称轴为直线x＝－b2a，∴抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是直线x＝1.故选C.2．(2018·山西)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为()A．y＝(x－4)2＋7B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7D．y＝(x＋4)2－25B【解析】y＝x2－8x－9＝x2－8x＋16－25＝(x－4)2－25.故选B.3．(2017·玉林)对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是()A．开口向下B．对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．与y轴不相交D【解析】∵a＝－20，∴函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝m，顶点坐标为(m,0)，函数的最大值为0.故A，B，C正确．故选D.4．(2019·百色)抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到()A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D．先回石平移3个单位，再向上平移2个单位A【解析】抛物线y＝x2＋6x＋7＝(x＋3)2－2，可由抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到．故选A.5．关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是()A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x1时，y随x的增大而减小D6．(2017·随州)对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是()A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C．它