高考经典物理模型：人船模型(一)

人船模型之一“人船模型”，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一．对“人船模型”及其典型变形的研究，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷。1、“人船模型”质量为M的船停在静止的水面上，船长为L，一质量为m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面移动的距离？分析：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零；即人和船组成的系统在运动过程中总动量守恒。解答：设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为和u，则由动量守恒定律得：mv=Mu由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度和u均满足上述关系，所以运动过程中，人和船平均速度大小u和也应满足相似的关系，即m=Mu而xt，yut，所以上式可以转化为：mx=MyMLmMLxy又有，x+y=L,得：MxLmMmyLmM以上就是典型的“人船模型”，说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情况无关。该模型适用的条件：一个原来处于静止状态的系统，且在系统发生相对运动的过程中，至少有一个方向(如水平方向或者竖直方向)动量守恒。2、“人船模型”的变形变形1：质量为M的气球下挂着长为L的绳梯，一质量为m的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？分析：由于开始人和气球组成的系统静止在空中，竖直方向系统所受外力之和为零，即系统竖直方向系统总动量守恒。得：mx=Myx+y=L这与“人船模型”的结果一样。变形2：如图所示，质量为M的14圆弧轨道静止于光滑水平面上，轨道半径为R，今把质量为m的小球自轨道左测最高处静止释放，小球滑至最低点时，求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离？分析：设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为x和y，将小球和轨道看成系统，该mM系统在水平方向总动量守恒，由动量守恒定律得：mx=Myx+y=L这又是一个“人船模型”。3、“人船模型”的应用①“等效思想”如图所示，长为L质量为M的小船停在静水中，船头船尾分别站立质量为m1、m2（m1m2）的两个人，那么，当两个人互换位置后，船在水平方向移动了多少？分析：将两人和船看成系统，系统水平方向总动量守恒。本题可以理解为是人先后移动，但本题又可等效成质量为12()mmmm的人在质量为2'2MMm的船上走，这样就又变成标准的“人船模型”。解答：人和船在水平方向移动的距离为x和y，由动量守恒定律可得：'mxMyxyL这样就可将原本很复杂的问题变得简化。②“人船模型”和机械能守恒的结合m1m2M'MmxyLm'M如图所示，质量为M的物体静止于光滑水平面上，其上有一个半径为R的光滑半圆形轨道，现把质量为m的小球自轨道左测最高点静止释放，试计算：1．摆球运动到最低点时，小球与轨道的速度是多少?2．轨道的振幅是多大?分析：设小球球到达最低点时，小球与轨道的速度分别为v1和v2，根据系统在水平方向动量守恒，得：12mvMv又由系统机械能守恒得：22121122mgRmvMv解得：12MgRvmM，22mMgRvMmM当小球滑到右侧最高点时，轨道左移的距离最大，即振幅A。由“人船模型”得：mxMy2xyR解得：2MxRmM，2myRmM即振幅A为：2mARmMMm