圆轴的扭转

18.2扭矩、扭矩图8.1扭转的概念与实例8.3圆轴扭转时的应力与变形8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件8.5静不定问题和弹塑性问题第八章圆轴的扭转返回主目录2工程构件分类:板块体杆杆的基本变形:轴向拉压弯曲xyz扭转3研究对象：圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:SMx=0变形特征：相对扭转角fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。xyz0M0M变形前变形后fAB汽车转向轴传动轴8.1扭转的概念与实例返回主目录4扭矩：T是横截面上的内力偶矩。内力—由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程：0MTM0M0假想切面外力偶M0内力偶T8.2扭矩与扭矩图返回主目录5由平衡方程：TMT0取右边部分T和T是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。M0M0假想切面取左边部分平衡外力偶M0扭矩T扭矩外力偶平衡TM06扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。M0TM0T负正7以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。2010画扭矩图：mkN20mkN10mkN10xoCABmkNT/ABCmkN10ABTmkNTAB10AB段：mkN20BCTmkNTBC20BC段：x85kN5kN3kNFN图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010mkNT/ABC在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集中载荷作用则内力相应增或减；至右端回到零。FN图（轴力）按右手法确定+向mkN20mkN10mkN10xoCABT图9解：由功率－转速关系计算外力偶矩例某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。nPMAA55.9mkN46.570040055.9nPMMBCB55.9mkN64.170012055.9nPMDD55.9mkN18.270016055.9BMBMCCMAMDAD10最大扭矩在AB段，且mkNT28.3mkNMmkNMMmkNMDCBA18.264.146.5求各截面内力：BC段mkNT-64.11CA段mkNT-28.32AD段mkNT18.23BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT/kN.m1.643.282.18T图11mkNMmkNMMmkNMDCBA18.264.146.5简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT图按右手法确定+向1.6412讨论：试作扭矩图2010T图按右手法确定+向xoCAB40kN·mD20kN·m10kN·m10kN·mmkNT/ABCD20xoCAB40kN·mD10kN·m10kN·mAM求反力偶：mkNMA202010T图按右手法确定+向mkNT/ABCD20返回主目录13变形体静力学的基本研究思路：静力平衡条件变形几何条件材料物理关系++1.变形几何条件刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。变形前变形后8.3.1圆轴扭转的应力公式8.3圆轴扭转时的应力与变形返回主目录14取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。1.变形几何条件g是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC=gdx=rdf,故有：dxrd/gdf/dx,称为单位扭转角。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgTg151.变形几何条件对半径为r的其它各处，作类似的分析。同样有：CC=gdx=rdf剪应变g的大小与半径r成正比。与单位扭转角df/dx成正比。即得变形几何条件为：dxd/rg--(1)dxOCDABrrCDdfTgrgr162.物理关系—材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是t-g曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。gtG--(2)半径为r处的剪应力则为：dxdGGrgtrr圆轴扭转时无正应力1GOtg1Gtys材料的剪应力t与剪应变g之间有与拉压类似的关系。17讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布dxdGGrgtrr圆轴几何尺寸及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。--(3)dxOCDABrrCDdfTgrgrtrTotrrtmax最大剪应力在圆轴表面处。截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；剪应力在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。183.力的平衡关系应力是内力（扭矩）在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：TdAArrtdxdGGrgtrr--(3)利用(3)式，得到：TdAdxdGA2rtrTotrrtmaxdA193.力的平衡关系TdAdxdGA2r令：AdAI2rr最后得到：rrrrtITdxdG--(4)Ir称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。trTotrrtmaxtmax在圆轴表面处，且TWTITr//maxrtW=I/r，称为抗扭截面模量。Tr求Ir，WT?208.3.2圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量抗扭截面模量W=I/rTrdDo讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积dA=2prdr,则有：极惯性矩:AdAI2rrrdrdA极惯性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpr--DdDdIDd抗扭截面模量：16/)1()2//(43apr-DDIWTa=d/D21圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量dDo空心圆轴实心圆轴Do)1(3244apr-DI极惯性矩r)1(3244ap-DI抗扭截面模量)1(1643ap-DWTa=d/D=0324DIpr163DWTpTWTITr//maxrt所以，如果在不增大截面积的前提下，将圆轴中心的材料向外部转移，做成空心圆轴，则可以大大提高轴的强度和刚度。如果在具有相同强度和刚度的前提下，将轴做成空心圆轴，则可以达到节约材料、减轻重量的目的。23结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处截面外圆周处（表面）tr=Tr/Irtmax=T/WTdDo空心圆轴实心圆轴DoTtrtmaxTtrtmax24讨论：2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同不同oToToToT258.3.3扭转圆轴任一点的应力状态TdxTttdxcAdyttt′t′研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0t=t剪应力互等定理：物体内任一点处二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。268.3.3扭转圆轴任一点的应力状态dxcAdyttt′t′纯剪应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态。纯剪应力状态:微元各面只有剪应力作用。45斜截面上的应力：t45dxct45s45ttdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0还有：s-45=t；t-45=0tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得：s45=-t；t45=0。Ass一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由此拉应力控制的。278.3.4圆轴的扭转变形单位扭转角为：rGITdxd//相对扭转角：B截面相对于A截面的扭转角。若AB=L，则ABGI称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。r若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。dxOCDABrCDddgTgTABLBAgdxGITdLAB0r若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则T/GIr=const,故有：rGILTAB/28例2.空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·mMC=100N·m，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:])(1[1641311111maxDdDTWTT-ptAB段：])24/18(1[241610150433-pMPa8.80N-mm-Mpa单位制f22f18f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m292)计算各段应力:BC段：故tmax=86.7Mpaf22f18f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m3)计算扭转角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0+rrN-mm-Mpa单位制])(1[1642322222maxDdDTWTT-pt])22/18(1[221610100433-pMPa7.8630拉压sys/n(延)s=[s]=sb/n(脆)maxtys/n(延)t=[t]=tb/n(脆)扭转强度条件max[t]=0.5~0.6[s](钢材，延性)[t]与[s]之关系：[t]=0.8~1.0[s](铸铁，脆性)1.强度条件][/maxssAFN][/maxttTWT8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件返回主目录31轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIr扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GIr扭转刚度条件则为：qmax[q]---许用扭转角机械设计手册建议：[q]=0.25~0.5/m，精度高的轴；[q]=0.5~1.0/m，一般传动轴。2.刚度条件单位统一为/m，则有：（弧度转换为角度）][180maxqpqroGIT323.扭转圆轴的设计二者均须满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。强度条件：][/maxttTWT刚度条件：][180maxqpqroGIT极惯性矩324DIpr抗扭截面模量163DWTp33解:1)画扭矩图。例4.实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN·m，MD=2.18kN·m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，试设计轴的直径。最大扭矩在AB段，且mNT3280BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按强度设计，有：][16/3maxtptDTWTT3max][16tpTDmm75361040328016p)(10753m-N-m-pa单位制342)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者，即：D=75mm][18032/1804maxqpppqrooDGTGIT则有：42max][18032qpGMD°42911080180328032pN-m-pa单位制)(109.693m-mm7035讨论：若取a=0.5，试设计空心圆轴尺寸。=76.4mm34max])[1(16tap-TD3641040)5.01(328016-p按刚度设计，有：][18032/)1(44maxqpapq-oDGT则有：取D=78mm=71mm44291)1(108018032803