二维随机变量(PPT课件)

四、小结第一节二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量)(eX图示)(eYS一、二维随机变量及其分布函数1.定义，是一个随机试验设E},{eS它的样本空间是上的随机变量，是定义在和设SeYYeXX)()(),,(YX由它们构成的一个向量叫做二维随机向量或二维随机变量.e炮弹的弹着点的位二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y考查某一地区学说明实例1实例2而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.有关,构成二维随机变量(H,W).童的身高H和体重W就前儿童的发育情况,机变量.置(X,Y)就是一个二维随则儿2.二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义定义，是二维随机变量设),(YX,,yx数二元函数:),(yxF)}(){(yYxXP},{yYxXP记成，的分布函数称为二维随机变量),(YX或称为随机对于任意实.的联合分布函数和变量YX看成是平面上随如果将二维随机变量),(YX机点的坐标,那么,处的在分布函数),(),(yxyxFxoy),(yxyYxX,落在如图所示的，函数值就是随机点),(YX方的无穷矩形域为顶点而位于该点左下),(yx内的概率.,),{(),(21xxxyxYX落在矩形域随机点的概率为}21yyy以},{2121yyyxxxP).,(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF(2)分布函数的性质,),(1的不减函数和是变量yxyxF即对于任,y意固定的);,(),(1212yxFyxFxx时当对于任,x意固定的).,(),(1212yxFyxFyy时当,1),(02yxF且,y对于任意固定的,0),(yF,x对于任意固定的,0),(xF,0),(F.1),(Fxoyyx),,(),0(3yxFyxF),,()0,(yxFyxF，右连续关于即xyxF),(.也右连续关于y),,(),,(42211yxyx对于任意,,2121yyxx下述不等式成立:.0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF证明},{2121yYyxXxP,0},{},{211212yYyxXPyYyxXP},{},{1222yYxXPyYxXP.0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF故},{},{1121yYxXPyYxXP二、二维离散型随机变量1.定义全部可能取到的不如果二维随机变量),(YX相同的值是有限对或可列无限多对,是则称),(YX.离散型的随机变量2.二维离散型随机变量的分布律所有可能取的设二维离散型随机变量),(YX),,(jiyx值为,,2,1,ji,},{ijjipyYxXP记,,2,1,ji则由概率的定义有,0ijp,111ijijp,},{ijjipyYxXP称,2,1,ji,),(的分布律型随机变量YX为二维离散YX和或随机变量.的联合分布律二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为XY21ixxxjyyy2112111ippp22212ippp21ijjjppp例1四个整数中等可能在设随机变量4,3,2,1X中等可能在另一个随机变量XY~1地取一个值,地取一整数值..),(的分布律试求YX:},{的取值情况是jYiX解.),(的分布律用乘法公式容易求得YX易知,4,3,2,1i取不大j.的正整数于i且},{jYiXP}{}{iXPiXjYP,411i,4,3,2,1i.ij12341234418112116108112116100121161000161XY的分布律为于是),(YX1.定义三、二维连续型随机变量),,(),(yxFYX的分布函数对于二维随机变量有使对于任意如果存在非负可积函数yxyxf,),(,dd),(),(vuvufyxFyx,),(量是连续型的二维随机变则称YX,),(),(的概率密度称为二维随机变量YXyxf.的联合概率密度和称为随机变量YX函数或2.性质.0),(1yxfyxyxfdd),(2.dd),(}),{(GyxyxfGYXP,3平面上的区域是设xOyG,),(),(4连续在若yxyxf),(F.1落在点),(YX则有内的概率为G.),(),(2yxfyxyxF3.说明，由性质4处有在连续点),(yxyxyyYyxxXxPyx},{lim00)1.1(由),(),([1lim00yxxFyyxxFyxyx)],(),(yxFyyxFyxyxF),(2).,(yxf:这表示很小时，则当yx,},{yyYyxxXxP,),(yxyxf内的落在小长方形即],(],(),(yyyxxxYX.),(yxyxf概率近似地等于.),(表示空间的一个曲面在几何上yxfz知，由性质2,1dd),(yxyxf.1),(为平面的空间区域的体积和介于xOyyxfz连续，在点若),(),(yxyxf，由性质3为底，的值等于以GGYXP}),{(.),(为顶面的柱体体积yxfz以曲面.dd),(}),{(GyxyxfGYXP);,()1(yxF求分布函数具有概率密度设二维随机变量),(YX),(yxf}.{)2(XYP求概率例2,0,0,e2)2(yxyx.,0其他解)1(yxyxyxfdd),(),(yxFyxyxyxyx00)2(,0,0,dde2.,0其他),(yxF即有.0,0),e1)(e1(2yxyx.,0其他},),{(}{GYXXY(2)即有坐标，看成是平面上随机点的将),(YX平面上直线为其中xOyGXYGxyO.及其下方的部分xy于是}{XYPyxyxfGdd),(yxyyxdde20)2(.31}),{(GYXP推广定义，是一个随机试验设E它的样本空间是},{eS),(11eXX设),(22eXX,)(eXXnn，上的随机变量是定义在S维由它们构成的一个n维随机维随机向量或叫做向量nnXXXn),,,(21变量.n维随机变量的概念,,,,21nxxxn个实数对于任意元函数n},,,{),,,(221121nnnxXxXxXPxxxF的分布函数或随维随机变量称为),,,(21nXXXn.,,,21的联合分布函数机变量nXXX二维随机变量的分布函数}.,{),(yYxXPyxF二维离散型随机变量的分布律及分布函数,},{ijjipyYxXP;,2,1,ji.),(,yyxxijjipyxF二维连续型随机变量的概率密度.dd),(),(vuvufyxFyx四、小结