点共线问题的证明方法

一、点共线问题证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．1．如图1，正方体1111ABCDABCD中，1AC与截面1DBC交O点，ACBD，交M点，求证：1COM，，三点共线．证明：连结11AC，1C平面11AACC，且1C平面1DBC，1C是平面11AACC与平面1DBC的公共点．又MACM，平面11AACC．MBDM，平面1DBC．M也是平面11AACC与平面1DBC的公共点．1CM是平面11AACC与平面1DBC的交线．O为1AC与截面1DBC的交点，O平面11AACCO，平面1DBC，即O也是两平面的公共点．1OCM∴，即1CMO，，三点共线．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）．分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线．证明∵AB//CD，AB，CD确定一个平面β．又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．