概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章习题参考答案

1第一章随机事件与概率习题1.11．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1）Ω={(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,1)，(1,1,1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（2）Ω={(x1,x2,x3)：x1,x2,x3=1,2,3,4,5,6}；（3）Ω={(1)，(0,1)，(0,0,1)，(0,0,0,1)，…，(0,0,…,0,1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω={BB，BW，BR，WW，WB，WR，RR，RB，RW}，其中黑球记为B，白球记为W，红球记为R；（5）Ω={BW，BR，WB，WR，RB，RW}，其中黑球记为B，白球记为W，红球记为R．2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？解：Ω={Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ，FF}．3．设A,B,C为三事件，试表示下列事件：（1）A,B,C都发生或都不发生；（2）A,B,C中不多于一个发生；（3）A,B,C中不多于两个发生；（4）A,B,C中至少有两个发生．解：（1）CBAABCU；（2）CBACBACBACBAUUU；（3）ABC或CBACBACBACBABCACBACABUUUUUU；（4）ABCBCACBACABUUU．4．指出下列事件等式成立的条件：（1）A∪B=A；（2）AB=A．解：（1）当A⊃B时，A∪B=A；（2）当A⊂B时，AB=A．5．设X为随机变量，其样本空间为Ω={0≤X≤2}，记事件A={0.5X≤1}，B={0.25≤X1.5}，写出下列各事件：（1）BA；（2）BAU；2Ω（3）AB；（4）BAU．解：（1）}5.11{}5.025.0{≤≤=XXBAU；（2）Ω=≤≤=}20{XBAU；（3）AXXAB=≤≤≤=}21{}5.00{U；（4）BXXBA=≤≤≤=}25.1{}25.00{UU．6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A=“X=1”，B=“X2”，C=“X=0”，D=“X=4”．解：A={(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)}，B={(1,1,1)}，C={(0,0,0)}，D=∅．7．试问下列命题是否成立？（1）A−(B−C)=(A−B)∪C；（2）若AB=∅且C⊂A，则BC=∅；（3）(A∪B)−B=A；（4）(A−B)∪B=A．解：（1）不成立，CBAACBAACBACBACBACBACBAUUUU)()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C⊂A，有BC⊂AB=∅，故BC=∅；（3）不成立，因ABABABBBABBABBA≠−====−UUU)()(；（4）不成立，因ABABBBABBABBA≠===−UUUUU))(()(．8．若事件ABC=∅，是否一定有AB=∅？解：不能得出此结论，如当C=∅时，无论AB为任何事件，都有ABC=∅．9．请叙述下列事件的对立事件：（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B=“射击三次，皆命中目标”；（3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）=A“掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B“射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）=C“加工四个零件，皆为不合格品”．10．证明下列事件的运算公式：（1）BAABAU=；（2）BAABAUU=．AB(A−B)∪CCA−(B−C)ΩCAB3证：（1）AABBABAAB=Ω==)(UU；（2）BABABAAABAAUUUUU=Ω==)())((．11．设F为一事件域，若An∈F，n=1,2,…，试证：（1）∅∈F；（2）有限并∈=UniiA1F，n≥1；（3）有限交∈=IniiA1F，n≥1；（4）可列交∈+∞=I1iiAF；（5）差运算A1−A2∈F．证：（1）由事件域定义条件1，知Ω∈F，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F；（2）在定义条件3中，取An+1=An+2=…=∅，可得∈=∞==UU11iiniiAAF；（3）由定义条件2，知∈nAAA,,,21LF，根据（2）小题结论，可得∈=UniiA1F，再由定义条件2，知∈=UniiA1F，即∈=IniiA1F；（4）由定义条件2，知∈LL,,,,21nAAAF，根据定义条件3，可得∈∞=U1iiAF，再由定义条件2，知∈∞=U1iiAF，即∈∞=I1iiAF；（5）由定义条件2，知∈2AF，根据（3）小题结论，可得∈21AAF，即A1−A2∈F．4习题1.21．对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛rn，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛rnnrn；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛rnrnrn111；（3）nnnnn210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L；（4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnnnnnnL；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nbabnanbanba0110L，n=min{a,b}；（6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnnnnn210222L．证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−rnrrnnrnnrnnrnn!)!(!)]!([)!(!；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−rnrnrnrnrrnrnrnrnrnrnrnrn)!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111；（3）由二项式展开定理nnnnynnyxnxnyx⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L110)(，令x=y=1，得nnnnn210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L；（4）当1≤r≤n时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!rnnrnrnnrnrnrnrnrrnr，故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnnnnnnnnnnnnnLL；（5）因aaxaaxaax⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L10)1(，bbxbbxbbx⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L10)1(，两式相乘，其中xn的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110bnanbanbaL，5另一方面bababaxabaxbabaxxx++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L10)1()1()1(，其中xn的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+nba，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nbabnanbanba0110L；（6）在（5）小题结论中，取a=b=n，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnnnnnnnnnn20110L，再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛rnnrn，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnnnnn210222L．2．抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n=23=8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1，即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k=8−1=7，故所求概率为87)(=AP．3．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率．解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n=22=4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1，即事件A=“它们的和为偶数”所含样本点个数k=2，故所求概率为2142)(==AP．4．掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点．解：样本点总数n=62=36．（1）事件A1=“点数之和为6”的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，即个数k1=5，故所求概率为365)(1=AP；（2）事件A2=“点数之和不超过6”的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)，即个数k2=15，故所求概率为1253615)(2==AP；（3）事件A3=“至少有一个6点”的样本点有(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)，即个数k3=11，故所求概率为3611)(3=AP．5．考虑一元二次方程x2+Bx+C=0，其中B,C分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q．解：样本点总数n=62=36，事件A1=“该方程有实根”，即B2−4C≥0，样本点有6(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，即个数k1=19，故36191==nkp．事件A2=“该方程有重根”，即B2−4C=0，样本点有(2,1)，(4,4)，即个数k2=2，故1813622===nkq．6．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃；（2）同花；（3）没有两张同一花色；（4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n，（1）事件A1=“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，故所求概率为0026.0270725715)(1==AP；（2）事件A2=“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k，故所求概率为0106.02707252860)(2==AP；（3）事件A3=“没有两张同一花色”所含样本点个数k3=13×13×13×13=28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==AP；（4）事件A4=“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k，故所求概率为1104.027072529900)(4==AP．7．设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n，事件A1=“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k，故所求概率为1273621)(1==AP；事件A2=“仅有一个合格品”所含样本点个数14271217