高考文科数列知识点总结

(一)等差数列1.等差数列的定义：daann1（d为常数）（2n）；2．等差数列通项公式：*11(1)()naanddnadnN，首项:1a，公差:d，末项:na推广：dmnaamn)(．从而mnaadmn；3．等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaaS1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。7.等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（4）若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列(5)若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列（6）数列{}na为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等差数列（二）等比数列1.等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2.通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，3.等比中项（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列na是等比数列211nnnaaa4.等比数列的前n项和nS公式：(1)当1q时，1nSna(2)当1q时，11111nnnaqaaqSqq5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)nnnnnaaqaqqaa或为常数，{}na为等比数列（2）等比中项：211nnnaaa（11nnaa0）{}na为等比数列7.等比数列的性质(1)若m+n=s+t(m,n,s,t*N),则nmstaaaa.特别的,当n+m=2k时,得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa(2)列{}na,{}nb为等比数列,则数列{}nka,{}nka,{}kna,{}nnkab{}nnab(k为非零常数)均为等比数列.(3)数列{}na为等比数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等比数列(7)若{}na为等比数列,则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列(9)①当1q时，②当1q0时，110{}0{}{nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{}na中,当项数为2n(n*N)时,1SSq奇偶,.(11)若{}na是公比为q的等比数列,则nnmnmSSqS（三）数列求和的基本方法和技巧一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn4、213)]1(21[nnkSnkn例：已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21二、错位相减这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。例：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…(a为常数)的前n项和。解：若a=0,则Sn=0若a=1,2)1(nn)1(2)1(ann则Sn=1+2+3+…+n=若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=∴Sn=当a=0时，此式也成立。∴Sn=三、倒序相加这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa。等差数列的前n相和就是利用倒序相加法得出来的。四、分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。另外：Sn=nn21813412211可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+(n21814121)五、裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan(5)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则111nnnaaaa)1(1)1(121aanaaaann)1(1)1(121aanaaaann例：求数列311，421，531，…，)2(1nn，…的前n项和S解：∵)2(1nn=211(21nn）Sn=)211()4121()311(21nn=)2111211(21nn=42122143nn解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。