3.1.3导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义1高二数学选修1-1第三章导数及其应用xxfxxflimxylimxf0x0x0００－＋＝＝即：000xxyfxxxfxy＝函数＝在＝处的导数，记作：或表示“平均变化率”ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ＝００xy附近的变化情况。＝反映了函数在处的瞬时变化率，＝在表示函数＝000x0xxxxxfxylimxf21.导数的定义其中：⑴其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。其几何意义是？一、温故知新P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx211.图1234?,,4,3,2,1,,21.100什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP二、探索新知PPnoxyy=f(x)割线切线T我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.?,,4,3,2,1,,21.100什么是趋势化的变割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP二、探索新知问1：此处切线定义与以前的定义有何不同？以前切线（如圆的切线）的定义是什么？圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABC二、探索新知xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y问2：通过逼近的方法，将割线PQ趋于的确定位置的直线定义为切线PT，那么可否用逼近的方法用割线的斜率求切线的斜率？xxfxxfkPQ)()(xy＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim＝所以：导数的几何意义1、几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.即:0'()kfx切线即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线2、这个概念:①切线斜率的本质——切点横坐标x0处的导数f’(x0);②提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法：求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfyxoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T想方法－－以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？二、探索新知.,,..,.以直代曲想方法这是微积分中重要的思附近的曲线点这替近似代切线我们用曲线上某点处的这里近似代替无理数用有理数如例刻画复杂的对象数学上常用简单的对象14163二、探索新知例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy【总结】求切线方程的步骤：三、典例精析练习线点点处线点处线318：已知曲y=x上一P(2,)，求：33(1)P的切的斜率；（2）P的切方程.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0..,,,...,.附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21021056943112tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线.,,,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210.,,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt.,,.`,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt.,,.`,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt.,,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图..,min...,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到率物浓度的瞬时变化血管中药时估计根据图象函数图象变化的单位随时间位单物浓度表示人体血管中药它如图例ttmlmgtfc它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf.在此点处的切线的斜率曲线tf.,,,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411...,.,.'41804180ft所以它的斜率约为处的切线作.,,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬417004080604020.......'tft药物浓度的瞬时变化率（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy二、求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。五、归纳总结一、导数的几何意义：1、几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.即:0'()kfx切线2342yxxM2.求曲线在点（1，1）处的切线方程。处的导数。在求函数11.1xxy3.１１求双曲线ｙ＝过点（２，）的切线方程．ｘ２六、作业布置一、交：一、不交：书本P80，A4、5，B2、33１１求双曲线ｙ＝过点（２，）的切线方程．ｘ２.141)2(4121.4121241221lim121lim22lim000xyxyxxxxxfxfxxx，即故所求切线方程为）的切线斜率为，（所以，这条双曲线过点，）（）（）（解：因为作业答案第二课时•一、复习1、求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf2、根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy（二）、求切线方程的步骤：小结:无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导数概念。（一）、导数的几何意义：1、几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.即:0'()kfx切线第二课时•一、复习二、函数的导数：函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。0x0()fx()fx0xx0x0()fx()fx0x0()fx0x()fxxyoPQM为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？思考：QPPnoxyy=f(x)割线切线T当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.?同过的切线定义有什么不此处切线定义与以前学例2:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.)38,2(313Pxy上一点yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx2230133()()lim3xxxxxxx22201lim[33()].3xxxxxx练：设f(x)为可导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.12)1()1(lim0xxffx,12)1()1(lim)(0xxffxfx是可导函数且解：01(1)(1)lim1,21(1)xffxx.2)1(f故所求的斜率为-2.题型三：导数的几何意义的应用0(1)(1)lim2,(1)1xfxfx'000'0,,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道导数表示函数在处的瞬时变化率反映了函数在附近的变化情况那么导数的几何意义是什么呢xoyy=f(x)设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近一点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线，当点Q沿着曲线无限接近于点P点P处的切线。即△x→0时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义△x△yPQT问1：此处切线定义与以前的定义有何不同？以前切线（如圆的切线）的定义是什么？二、探索新知