立体几何(优秀教师版)空间想象力及最值问题

1/16立体几何------空间想象力及最值问题1.（温州一模第4题）下列命题正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C.锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D.平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形2.有如下四个命题：①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直；②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行；③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行；④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件．其中正确的序号是．3.下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：①与两条平行直线中一条平行的平面必与另一条直线平行；②与两条平行直线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；③与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；④与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；⑤与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行；⑥与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直；⑦与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直；⑧与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行；其中正确命题的个数有个．4．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面有可能垂直于平面．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）5.如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面过棱AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是.6.已知异面直线a，b所成的角为θ，P为空间任意一点，过P2/16作直线l，若l与a，b所成的角均为，有以下命题：①若θ=60°，=90°，则满足条件的直线l有且仅有l条；②若θ=60°，=30°，则满足条件的直线l有仅有l条；③若θ=60°，=70°，则满足条件的直线l有且仅有4条；④若θ=60°，=45°，则满足条件的直线l有且仅有2条；上述4个命题中真命题有()A．l个B．2个C．3个D．4个7.定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段9.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为()10.如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A．直线B．圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线3/1611.如图，是平面的斜线段，为斜足。若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（）A、圆B、椭圆C、一条直线D、两条平行直线12.如图，矩形ABCD中，E为边AD上的动点，将△ABE沿直线BE翻转成△A1BE，使平面A1BE平面ABCD，则点A1的轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．以上答案都不是13.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线14.如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为()A．B．C．D．15.如图，直线平面，垂足为，直线是平面的一条斜线，斜足为，其中，过点的动直线交平面于点，，则下列说法正确的是_________________.①若，则动点B的轨迹是一个圆；②若，则动点B的轨迹是一条直线；4/16③若，则动点B的轨迹是抛物线；④，则动点B的轨迹是椭圆；⑤，则动点B的轨迹是双曲线.16.（温州一模第7题）长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为6，若空间有一条直线l与直线CC1所成的角为4，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（）A.7[,]1212B.[,]122C.5[,]1212D.[0,]217.已知三棱锥ABCD，DCDBDA,,两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱DA上运动，另一个端点在DBC内运动（含边界），则的中点的轨迹为；它与三棱锥的面DACDBCDAB,,围成的几何体的体积为．（仅指三棱锥ABCD内的部分）18.连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦、可能相交于点；②弦、可能相交于点；③的最大值为5；④的最小值为1，其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个19.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A．动点在平面上的射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥的体积有最大值D．异面直线与不可能垂直20.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；5/16③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）21.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是AB，BC，B1C1的中点，则下列说法正确的是（写出所有正确命题的编号）．①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA1C1C平行；②点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；③点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条直线；④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有10条；⑤点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点E的距离的平方差为3，则点P的轨迹为拋物线．22.关于图中的正方体，下列说法正确的有：____________．①点在线段上运动，棱锥体积不变；②点在线段上运动，直线AP与平面平行；③一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面在平面与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。23.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1D1的中点，Q是A1B1上的任意一点，E、F是CD上的任意两点，且EF的长为定值．现有如下结论：①异面直线PQ与EF所成的角是定值；②点P到平面QEF的距离是定值；③直线PQ与平面PEF所成的角是定值；④三棱锥P-QEF的体积是定值；⑤二面角P-EF-Q的大小是定值．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．324.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是（）A．直B．C．三棱锥的体积为定值D．异面直线所成的角为定值6/1625.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，长度为b（b为定值且b＜a）的线段EF在面对角线A1C1上滑动，G是棱BB1上的动点（G不与端点B1、B重合），下列四个判断：①三棱柱ABC-A1B1C1的表面积是正方体ABCD-A1B1C1D1表面积的一半；②三棱锥B1-DEF的体积不变；③三棱锥G-ADD1的体积等于三棱锥B-A1AD1的体积；④正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积是3πa2．其中正确命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个26.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点∈，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）A．B。C。D。27.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A.S1S2B.S1S2C.S1=S2D.S1，S2的大小关系不能确定28.在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是_______7/16立体几何（教师版）------空间想象力及最值问题1.下列命题正确的是（D）A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C.锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D.平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形2.有如下四个命题：①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直；②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行；③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行；④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件．其中正确的序号是．【解析】①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直，是一个正确命题，由定理过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直；②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行，正确命题，两平面平行，可得出一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，反之，一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，推不出两平面平行；③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行，错误命题，此是一个充要条件；④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件，正确命题，两条直线平行时，在同一个平面内的投影可以是两个点，不能得射影平行，如果两个直线在平面内的投影平行，两直线的位置关系可能是异面．故答案为：①②④3.下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：①与两条平行直线中一条平行的平面必与另一条直线平行；②与两条平行直线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；③与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；④与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；⑤与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行；⑥与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直；⑦与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直；⑧与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行；其中正确命题的个数有个．【解析】依题意，作长方体ABCD-A1B1C1D1的图形如下：对于①，由图知，AB∥CD，AB∥平面DCC1D1，但CD不与平面DCC1D1平行，而是CD⊂平面DCC1D1，故①错误；8/16对于②，由线面垂直的性质得：与两条平行直线中一条垂直的平面与另一条直线垂直，故②正确；对于③，由图知，AD⊥CD，CD∥平面A1B1C1D1，AD并不与平面A1B1C1D1垂直，而是AD∥平面A1B1C1D1，故③错误；对于④，由图可知，AD⊥CD，AD⊥平面A1B1C1D1，但CD并不与平面A1B1C1D1平行，而是CD⊂平面A1B1C1D1，故④错误；对于⑤，与两个平行平面中一个平行的直线，可能在另一个平面或必与另一个平面平行，故⑤错误；对于⑥，由面面平行的性质得，与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直，正确；对