1.2.2.2-组合的综合应用

边城高级中学张秀洲1、学会运用组合的概念分析简单的实际问题．2、能解决无限制条件的组合问题．3、掌握解决组合问题的常见的方法.自学教材P21—P24解决下列问题一、掌握解决组合问题的常见的方法.二、《基础训练》自主导学、例题.1、组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC2、组合数:3、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：111:2:mnmmmmnnnnnCCCCC定理定理类型1：有限制条件的组合问题【例】在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件.(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？(4)抽出的3件中至多有2件是正品的抽法有多少种？类型1：有限制条件的组合问题【例】在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件.(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?3100161700;C122989506;CC类型1：有限制条件的组合问题【例】在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？12212982989506989604)CCCC解法一：（种33100981617001520969604):9604.CC解法二：（种答共有种抽法说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。类型1：有限制条件的组合问题【例】在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件.(4)抽出的3件中至多有2件是正品的抽法有多少种？21122982989604()CCCC解法一：种答：共有9604种抽法.3310098-=161700-152096=9604()CC解法二：种有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数;二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法?（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法?（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；323936CC0539126CC1419126CC按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法?（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；1439378CC231405393939(5)756CCCCCC方法一：5321239756CCC方法二：322314393939(6)666CCCCCC方法一：5051239666CCC方法二：现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即210C＝10×92×1＝45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有26C种方法；第2类，选出的2名是女教师有24C种方法，即26C＋24C＝21(种)．题型2：几何问题中的组合问题【例】α,β是两个平行平面,在α内取四个点,在β内取五个点.(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？【解】(1)在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所确定的平面和直线才能达到最多,此时,最多能确定直线C29＝36(条),又因为三个不共线的点确定一个平面,故最多可确定C24C15＋C14C25＋2＝72(个)平面．(2)同理,在9个点中,除了α内的四点共面和β内的五点共面外,其余任意四点不共面且任意三点不共线时,所作三棱锥才能达到最多．此时最多能作C34C15＋C24C25＋C14C35＝120(个)三棱锥．解与几何有关的问题,基本思路有两种,一是考虑用特殊元素去分类,用直接法求解;二是间接法,在所有的取法中,去掉不符合题意的取法(如共线三点不能构成三角形),这两种方法,都应熟练掌握．已知∠AOB的边OA上有5个点,边OB上有6个点,用这些点和O点为顶点,能构成多少个不同的三角形？解:法一:以O为三角形顶点,其余两顶点分别在OA和OB上取,能构成115630CC(个)三角形;O不为顶点,又可分为两类,即在OA上取两点,OB上取一点,或在OA上取一点,OB上取两点,则能构成21125656106515135CCCC(个)三角形．因此构成不同的三角形共有30＋135＝165(个)．已知∠AOB的边OA上有5个点,边OB上有6个点,用这些点和O点为顶点,能构成多少个不同的三角形？解:法二:从12个点中任取3个点的取法有312C种,其中,不能构成三角形的三点有两类,OA上6个点中任取三点,或OB上7个点中任取三点,分别有36C和37C种,因此,能构成不同的三角形共有312C－36C－37C＝220－20－35＝165(个)．1、高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？【解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有234C＝561(种)．∴不同的取法有561种．【解答】(2)从34名可选学生中选取3名，有334C种．或者323353434CCC＝5984种．∴不同的取法有5984种．1、高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？【解答】(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有122015CC＝2100种．∴不同的取法有2100种．【解答】(4)选取2名女生有122015CC种，选取3名女生有315C种，共有选取方式N＝122015CC＋315C＝2100＋455＝2555种．∴不同的取法有2555种．1、高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【解答】(5)选取3名的总数有335C，因此选取方式共有N＝335C－315C＝6545－455＝6090种．∴不同的取法有6090种．2、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)甲、乙、丙三人至少1人参加．解：法一：(直接法)可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有1439CC(种)；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有2339CC(种)；第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有3239CC(种)．共有1439CC＋2339CC＋2239CC＝666种不同的选法．2、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)甲、乙、丙三人至少1人参加．解：法二：(间接法)12人中任意选5人共有512C种，甲、乙、丙三人不能参加的有59C种，所以，共有512C－59C＝666种不同的选法．2、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(2)甲、乙、丙三人至多2人参加.解：法一：(直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类：第一类：甲、乙、丙都不参加，共有59C种；第二类：甲、乙、丙中有1人参加，共有1439CC(种)；第三类：甲、乙、丙中有2人参加，共有2339CC(种)；共有59C＋1439CC＋2339CC＝756种不同的选法．2、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(2)甲、乙、丙三人至多2人参加.解：法二：(间接法)12人中任意选5人共有512C种，甲、乙、丙三人全参加的有29C(种)，所以共有512C－29C＝756种不同的选法．3、(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？【解】(1)正方体8个顶点可构成48C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有48C－12＝58(个)．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥1214C＝48(个)．4、有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？解：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。第①类,划左舷的人已选定,划右舷的人可以在B∪C中选3人,即有39C种选法.因是分步问题，所以有3339CC种选法.第②类，划左舷的人在A中选2人，有23C种选法，在C中选1人，有15C种选法，划右舷的在B∪C中剩下的8个人中选3人,有38C种选法.因是分步问题，所以有213358CCC种选法.类似地，第③类，有123357CCC种选法。第④类,有033356CCC种选法。因为是分类，所以一共有3321312303339358357356CCCCCCCCCCC8484010502002174种不同的选法.2020年4月9日星期四你学会了吗?※对自己说，你有什么收获？※对同学说，你有什么提示？※对老师说，你有什么疑惑？1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题.必做题:《教材》P27A组第15、16、17题1次2020年4月9日【预习】课本P21-P23《组合》选做题:《备选题》见课件2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为。32328778.()()ACCCC32328778.()()BCCCC32328778.CCCCC3218711.DCCC3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）2353.ACA3353.2BCA35.CA1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车