2018年高考一轮复习教学案-选修4-4极坐标和参数方程

完美WORD格式范文.范例.指导.参考选修4－4坐标系与参数方程1．坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：完美WORD格式范文.范例.指导.参考x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx易误提醒1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．解析：由x′＝12x，y′＝3y.知x＝2x′，y＝13y′.代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′.答案：y′＝3sin2x′2．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．解析：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－π3，所以点P的极坐标为2，－π3.答案：2，－π33．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________．解析：点2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.答案：1知识点二参数方程参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的完美WORD格式范文.范例.指导.参考函数x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由函数式x＝ft，y＝gt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程x＝ft，y＝gt叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.[自测练习]4．在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t，(t为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝05．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)的右焦点，且与直线x＝4－2t，y＝3－t(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．解析：椭圆的普通方程为x24＋y23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点(1,0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0，由x24＋y23＝1，x－2y－1＝0，得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为1＋122×122－4×－114＝154.答案：154考点一曲线的极坐标方程|完美WORD格式范文.范例.指导.参考1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1，π2.2．(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的完美WORD格式范文.范例.指导.参考终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．考点二曲线的参数方程|1．已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint，(t为参数)曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ.(θ为参数)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：x264＋y29＝1，曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ.曲线C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|，从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取最小值855.2．已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t，(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ.(θ为参数)直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，完美WORD格式范文.范例.指导.参考其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点三极坐标方程、参数方程的综合应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcosαy＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤απ.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[解](1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0，或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标完美WORD格式范文.范例.指导.参考方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|＋|PN|的取值范围．解：(1)直线l的参数方程：x＝4＋tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)．∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴C：x2＋y2＝4x.(2)直线l的参数方程：x＝4＋tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)，代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0，Δ＝α＋cosα2－160，t1＋t2＝－α＋cosα，t1t2＝4，∴sinα·cosα0，又0≤απ，∴α∈0，π2，且t10，t20.∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4(sinα＋cosα)＝42sinα＋π4，由α∈0，π2，得α＋π4∈π4，3π4，∴22sinα＋π4≤1，故|PM|＋|PN|的取值范围是(4,42].33.直线参数方程中参数t几何意义的应用【典例】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθy＝2＋4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；完美WORD格式范文.范例.指导.参考(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．[思维点拨](1)根据条件写出l的参数方程及化曲线C为标准方程．(2)利用t的几何意义求解|PA|·|PB|的值．[解](1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，直线l：x＝3＋12ty＝5＋32t(t为参数)．(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋33)t－3＝0，设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB