微分的概念教案首页

..《微分及其运算》教案首页课次课型理论课章节§2-2微分及其运算教学目的1、掌握微分的概念和微分的运算2、理解微分的几何意义教学重点求解函数的微分教学难点理解微分的概念教学方法课堂讲授教具挂图PPT授课班级授课日期相关素材华师大《数学分析》，刘传宝主编《高等数学》教学后记1.作为微积分的首要知识，微分是重中之重，但是由于它与导数密切相关，所以它学习的难易程度很大取决于对导数的掌握程度。2.微分概念理解和推导过程较繁琐，从课堂情况来看，学生对于定义理解也较为吃力，这就需要与导数概念多作比较说明。3.微分本身定义较难理解，但是微分计算简单，只是在求导基础上稍微变形，但是由于大家对微分定义不熟，所以导致对它的计算畏惧心理较强。4.本节整体思维与第一节相似，所以应在比较类别的基础上教学，才能起到举一反三的效果。..《微分及其运算》教案续页教学过程一、新课导入（5分钟）4.24；tan46tan45；已知0000(),:,:()()yfxxxxxyfxfxx，在1x时，y？二、新课讲授函数()yfx的导数表示函数在点x处的变化率，它所描述的是函数()yfx在点x处变化的快慢程度。在工程技术中，有时还需要了解当自变量取一个微小的增量时，函数取得相应增量的大小。一般说来，计算函数增量的精确值较繁，有时是相当困难的。所以，往往需要找出简便的计算方法计算它的近似值。为此，我们引出微分学中的另一个重要概念——微分。1、微分的概念（40分钟）先看一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x变到0xx，如图2-5所示，问此金属薄片的面积改变了多少？图2-5设薄片的边长为x，面积为S，则2Sx。薄片受温度变化的影响，面积的改变量可以看成是当自变量x在0x有增量x时，函数S相应的增量S，即222000()()2()Sxxxxxx可以看出，S由两部分组成，第一部分02xx(图中阴影部分两个矩形面积之和)是x的线性函数，且002xSx，第二部分(图中右上角处的小正方形)当0x时，是x的高阶无穷小。由此可见；如果边长改变很微小，即x很小时，面积的改变量S可以近似地用第一部分代替，且x越小，近似程度越好，这无疑给近似计算提供了极大的方便。..《微分及其运算》教案续页教学过程撇开这个例子的实际意义，对于一般可导函数()yfx而言，我们可以联想到两个问题：(1)与自变量的增量x相对应的函数增量00()yfxxfx，是否也可表示为x的线性函数Ax(其中A不依赖于x)与x的高阶无穷小两部分之和；(2)其中x线性函数部分的系数A，是否恰好是函数()yfx在该点的导数0fx。设函数()yfx在点0x处可导，即00limxyfxx存在，显然可得00lim0xyfxx由无穷小的概念，即得0yfxx（其中0lim0x）于是有0yfxxx从上式可看出，我们的联想是正确的。同时我们还能证明，如果函数()yfx当自变量在0x有增量x时，相应的函数增量可表示为yAxx，且x的系数A一定就是0fx。由此，我们引出下面的概念。定义1：如果函数()yfx在点0x处可导，则称0fxx为函数()yfx在点0x处的微分，记作0xxdy，即00xxdyfxx此时我们称函数()yfx在点0x处可微。以上的分析及定义说明，函数()yfx在点0x处可导与它在该点可微是等价的。特别地，当yx时，dydxxxx因此我们可以得到自变量的微分dx等于自变量增量x，由此函数()yfx在点0x处的微分又记作..《微分及其运算》教案续页教学过程00xxdyfxdx如果函数()yfx在某区间内每一点都可微，则称函数()fx在该区间内可微，并称函数()fx为该区间内的可微函数。函数在区间内的任一点x处的微分记为()dyfxdx上式又可写成()dyfxdx即函数的导数等于函数的微分dy与自变量微分dx之商，所以导数又称微商。例1：求函数2yx当x由1变到1.0l时的微分。解：函数的微分为22dyxxxx．由条件知1,1.0110.01xx，所以0.02dy。例2：半径为r的球，其体积为343vr，当半径增大r时，求体积的增量及微分。解：体积的增量：3323244334443Vrrrrrrrr体积的微分为：24dVrr。2、微分运算（25分钟）由()dyfxdx可知，求微分dy只要计算出函数的导数()fx，再乘以自变量的微分dx即可。例3：求函数sinyx的微分。解：1sincos2dyxdxxdxx.例4：求函数2cosyxx的微分。解：22cos2cossindyxxdxxxxxdx.课堂练习：求函数2lnyx在x处的微分，并求在1x时的微分（记作1xdy）。3、微分的几何意义（10分钟）设函数yfx的图像如图2-6所示，过曲线上点0,0()Mxy作曲线的切线MT，切线的倾斜角为。则0tanfx。由图可知，当0x有微小增量x时，相应地切线的纵坐标也有增量QP。..《微分及其运算》教案续页教学过程因此，函数yfx在点0x处的微分就是曲线yfx上点0,0()Mxy处切线MT的纵坐标的增量。图2-6对图形的观察分析，我们还发现：(1)当x很小时，ydy也很小，即可用函数的微分dy来近似替代函数的增量y。(2)当x很小时，1MNMP，即在某点的附近可以用“直”代“曲”．这一思想在微积分学中是非常重要的。三、小结（5分钟）总结求解函数微分过程中的注意事项。四、布置作业（5分钟）习题2-21,2（1）（3）（5）..