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高等数学第八章习题一选择填空1已知X={偏导数存在的函数类},Y={偏导数存在且连续的函数类},Z={可微函数类},则()(A)ZYX⊃⊃(B)ZXY⊃⊃(C)YZX⊃⊃(D)XYZ⊃⊃2已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000)(222222yxyxyxxyxf,在)0,0(点下列叙述正确的是()(A)连续但偏导不存在(B)连续偏导也存在(C)不连续偏导也不存在(D)不连续但偏导存在3曲线32,,tztytx=−==的所有切线中与平面42=++zyx平行的切线有()条.(A)1(B)2(C)3(D)44曲面)sin(sinsinyxyxz+=上点)43,3,6(ππ处的法线与xoy面夹角的正弦值为（）（A）13262（B）26263（C）1313（D）2615函数),(yxf在),(yxP点沿向量________=→e的方向导数为yf−。（A）{0,-1}(B){-1,0}(C){1,0}(D){0,1}6）在（0,0),(yxyxfz=的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又),(00yx是驻点，令,),(),(),(000000CyxfByxfAyxfyyxyxx===、、则),(yxf在）（00,yx处取得极值的条件为（A）042−ACB(B)042=−ACB(C)042−ACB(D)CBA、、任何关系。7梯度与方向导数的关系为：梯度的方向是方向导数取得______的方向，梯度的模是方向导数的最大值(A)极大值(B)最小值(C)最大值(D)极小值8二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是____(A)0=xf且0=yf(B)xyf连续(C)yxf连续(D)xyf与yxf都连续二填空1已知2),(xxyyxyxf+=−+，则_____________________),(=yxf2空间曲线⎩⎨⎧==++yxzyx9222的参数方程为______________________3已知向量AB的终点是()7,1,2−，它在zyx,,轴上的投影依次为7,4,4−。则AB的起点A的坐标是_______________。4设函数),(yxzz=由方程0arctan=+−yyxz所确定，则__________2=∂∂∂yxz。5本函数)ln(222zyxu++=在点)2,2,1(−M处的梯度为__________________________6由方程0222=+++zyxxyz所确定的隐函数),(yxzz=在点)1,0,1(−M处的全微分____________________________。7若yaxxyxxf22)(22+++=在点)1,1(−处取得极值，则_________________=a8设),,(wvuF是可微函数，且3),2,2,2(),2,2,2(==wuFF，6),2,2,2(−=vF。曲面0),,(=+++xzzyyxF通过()1,1,1点，则过这点的法线方程是_______。三完成下列各题1证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000)(2222422yxyxyxxyxf当)0,0(),(→yx时极限不存在。2求xyz=在条件4=+yx下的极值。3已知隐函数),(yxzz=由方程0),,(=+zxzyxyG所确定，且),,(wvuG具有一阶连续偏导，0/3/2≠+xGG，求xz∂∂4求曲面3222222=++xzzyyx在点)1,1,1(−−处的切平面方程。四完成下列各题1求函数xyz=在)0,0(点的偏导数2求极限4422limyxyxyx++∞→∞→五完成下列各题1设),(yxuu=具有二阶连续偏导,且2)2,(,)2,(,0xxxuxxxuuuxyyxx===−,求),2,(),2,(),2,(xxuxxuxxuyyxyxx.2设1D由22xy=及0,2,===yxax所围成,2D由轴22xy=及0,==yax所围成)20(a,(1)试求1D绕x轴旋转及2D绕y轴旋转而成立体的体积.(2)a为何值时,两体积之和最大?3设),,(yxyxfz+=，其中f具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂。高等数学第九章习题一选择填空1∫∫∫∫+=+=DDdxdyyxIdxdyyxI2231)()(与，其中2)1()2(22≤−+−yxD：的大小关系为:（）(A)21II=(B)21II(C)21II(D)无法判断2)(),,(1lim30=∫∫∫Ω→+dVzyxfrrπ2222)()()(:rczbyax≤−+−+−为其中Ω，且),,(zyxf在Ω上连续.(A)),,(cbaf(B)3),,(4cbafπ(C)3),,(4cbaf(D)),,(cbafπ3区域⎩⎨⎧≤≤≤≤⎩⎨⎧≤≤≤≤+=242,21,2121yxxDxyxxDDDD：：,按Y型区域应为（）(A)⎩⎨⎧≤≤≤≤221yxyy(B)⎩⎨⎧≤≤≤≤yxyy21(C)⎩⎨⎧≤≤≤≤221xyxx(D)⎩⎨⎧≤≤≤≤xyxx214已知,1,0,0:,1:1≤+≥≥≤+yxyxDyxD∫∫+=DdyxI，σ)(∫∫+=1)(DdyxJσ，则（）(A)JI=(B)JI2=(C)JI3=(D)JI4=5已知Ω为zzyx2222≤++,下列等式错误的是()(A)0)(22=+∫∫∫ΩdVzyx(B)0)(22=+∫∫∫ΩdVzxy(C)0)(22=+∫∫∫ΩdVyxz(D)0)(2=+∫∫∫ΩdVzyx6设),(yxf连续,且∫∫+=Ddudvvufxyyxf),(),(,其中D由1,,02===xxyy所围成,则)(),(=yxf(A)xy(B)xy2(C)1+xy(D)81+xy二填空1∫∫−−22221),(xxxdyyxfdx在Y型区域下的二次积分为_____________________2将∫∫+xxdyyxfdx32220)(转换为极坐标形式下的二次积分__________________31,1____)(322=−===+∫∫yxxyDdyxxyfD及由，其中σ所围成，且f连续。4grad)(rf=_______________________,其中fzyxr,222++=可导。5由曲线⎩⎨⎧==+0369422zyx绕y轴旋转一周而得到的旋转面在点)3,2,0(−处指向外侧的单位法向量为____________________6___________)(2212210=+∫∫−xxdyyxdx三、完成下列各题1求∫∫++Ddxdyyx2)1(,其中D为422≤+yx2求球面25222=++zyx到平面60543=++zyx的最长与最短距离。3计算二重积分{}∫∫−Dyxdeσ22,max,其中⎩⎨⎧≤≤≤≤1010yxD：。4求由θsin2=r与θsin4=r所围均匀薄片的形心。5已知∫−=xytdteyxf02),(，求证222222222yxeyfxyyxfxfyx−−=∂∂+∂∂∂−∂∂6求dVyx∫∫∫+Ω22,其中Ω是由抛物面224yxz−−=及0=z所围成的空间闭区域.四、完成下列各题1求由曲面zzyx=++2222)(所围立体的体积。2已知)(tf为可导函数,且4)0(,0)0(/==ff,求极限dVzyxftt∫∫∫+++→Ωπ)(1lim22240,其中Ω：2222tzyx≤++3变换⎩⎨⎧+=−=ayxvyxu2能将0622222=∂∂−∂∂∂+∂∂yfyxfxf简化为02=∂∂∂vuf，求a。高等数学第十章习题一、选择填空1、已知曲面Σ的方程为2222azyx=++，则Sdzyx∫∫++Σ)(222＝（）(A)0(B)42aπ(C)44aπ(D)46aπ2、已知2)()(yxjyiayxA+++=→→→为某一二元函数的梯度，则=a（）(A)－1(B)0(C)1(D)23、已知)(uf为连续函数，则∫∫+xxdyyxfdx2)(2210＝（）（A）tansec2400()drfrdrπθθθ∫∫（B）∫θθπ22sectan0)(8drrrf（C）∫θθπsectan02)(4drrrf（D）∫θθπsectan0)(8drrrf4、已知4:,4:,222222222=++≤++++=zyxzyxzyxrΣΩ,⎩⎨⎧=++=++04:222zyxzyxΓ，且)(rf连续，那么下列等式错误的是（），（A）∫∫∫∫∫∫=ΩΩdVfdVrf)2()(（B）∫∫∫∫=ΣΣdSfSdrf)2()(（C）∫∫=ΓΓdsfdsrf)2()((D)∫∫∫∫ΣΣ++=++zdxdyydzdxxdydzrzdxdyrydzdxrxdydz813335、设椭圆L：13422=+yx的周长为l，则∫=+Ldsyx2)23(（）(A)l(B)l3(C)l4(D)l126、已知Σ为zzyx2222=++,下列等式错误的是()(A)0)(22=+∫∫ΣSdzyx(B)0)(22=+∫∫ΣSdzxy(C)0)(22=+∫∫ΣSdyxz(D)0)(2=+∫∫ΣSdzyx7、设G为一单连通开区域，),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导，命题0:=+∫LQdyPdxa，其中L为G内任一条分段光滑闭曲线，命题:b在G内yQyP∂∂=∂∂处处成立，命题:cQdyPdx+某一二元函数的全微分。则命题cba,,满足（）（A）cba,,彼此等价（B）a与b等价与c不等价（C）a与c等价与b不等价（D）cba,,彼此不等价8、设Σ由分片光滑的所围成闭曲面的外侧，则Σ的体积V＝（）（A）∫∫++Σxdxdyzdzdxydydz31（B）∫∫++Σzdxdyydzdxxdydz31（C）∫∫++Σydxdyxdzdxzdydz31（D）∫∫++Σydxdyzdzdxxdydz31二、填空1、_________2=∫−Lxdye,其中L为305322=+yx的逆时针方向。2、=++)ln(222zyxgraddiv__________________3、设L为922=+yx，则→→→−+−=jxxiyxyF)4()22(2按L的逆时针方向运动一周所作的功为.___________4、设E为位于原点处的点电荷所产生的静电场，Σ为介于1=z到2=z之间的圆锥面222yxz+=的下侧，那么，E穿过Σ的电通量为_____________________5、已知),,(zyxfu=具有二阶连续偏导，那么______________)(=gradurot6、已知Σ为向量场A中一张有向闭曲面的内侧，则=⋅∫∫ΣSdA_____________7、∫=−Lydxxdy_______________，其中1002516:22=+yxL的顺时针方向。8、取曲面Σ：2222azyx=++的内侧，将曲面积分∫∫++Σzdxdyydzdxxdydz转化成对面积的曲面积分____________________三、完成下列各题1、设曲线积分∫+Ldyxdxy22，其中L为曲线xy−−=11上从原点经过点（1，1）到点（2，0）的一段。2、设)(),(2xyxgxyyxfz+=，f具有二阶连续偏导数，g二阶可导，求yxz∂∂∂23求半径为R均匀球壳（)1=ρ对于球心的转动惯量。四、完成下列各题1、求∫∫+++++Σdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxf]),,(3[]),,(2[]),,([，其中Σ为3=−+zyx在第八卦线的下侧。2、设曲线积分∫+Ldyxyfdxxy)(2与路径无关，)(xf具有连续导数，且0)0(=f，求)(xf及∫+)1,1()0,0(2)(dyxyfdxxy五、完成下列各题1、计算积分∫+Ldsyx22，xyxL2:22=+2、曲面积分333rzdxdyrydzdxrxdydz++∫∫Σ，其中222zyxr++=，Σ为上半球面222yxRz−−=下侧。3、计算二重积分∫∫++≤++DyxyxDdyx1:)(22，其中σ高数第十一章习题一、填充题(20)1．几何级数的公比为q，当q满足时，该级数发散。2．级数每一项同乘常数，不改变其收敛性3．正项级数收敛的充要条件是4．P-级数，当p满足时，收敛；当p满足时，发散。当p=1时，称为＿＿＿＿级