数字信号第4章习题答案

第四章习题讲解1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘，每次复加，用它来计算512点的，问直接计算需要多少时间，用运算需要多少时间。5s0.5sDFTxnFFT解：(1)直接利用计算：复乘次数为，复加次数为。DFT2N1NN复乘所需时间626215105105121.31072TNs复加所需时间6260.51010.51051251210.130816TNNs所以直接利用DFT计算所需时间：121.441536TTTs复乘所需时间61262510log2512510log5120.011522NTNs622620.510log0.510512log5120.002304TNNs复加所需时间所以用FFT计算所需时间120.013824TTTs(2)利用计算：复乘次数为，复加次数为。FFT2log2NN2logNN2.已知，是两个N点实序列，的值，今需要从，求，的值，为了提高运算效率，试用一个N点运算一次完成。XkYkxnynDFTXkYkxnynIFFT例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:11[()]()DFTxnXk22[()]()DFTxnXk解：利用两序列构成一个复序列12()()()wnxnjxn12()[()][()()]WkDFTwnDFTxnjxn则12[()][()]DFTxnjDFTxn12()()XkjXkRe[()]()epwnWkIm[()]()opjwnWk1()Re[()]xnwn由得11()[()]{Re[()]}()epXkDFTxnDFTwnWk*1[(())(())]()2NNNWkWNkRk2()Im[()]xnwn由得221()[()]{Im[()]}()opXkDFTxnDFTwnWkj*1[(())(())]()2NNNWkWNkRkj解：由题意XkDFTxnYkDFTyn，构造序列ZkXkjYk对作一次N点IFFT可得序列Zkzn又根据DFT的线性性质IDFTXkjIDFTYk而，都是实序列xnynReImxnznynzn()znIDFTZk()znIDFTZkIDFTXkjYkxnjyn3.N=16时，画出基-2按时间抽取法及按频率抽取法的FFT流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。解：自然序倒位序00000000001000110008200100100430011110012401000010250101101010601100110670111111014自然序倒位序81000000119100110019101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115(1)按时间抽取的基-2FFT流图162,4LNL共有L=4级蝶形运算，每级N/2=8个蝶形运算每个蝶形的两节点距离为，即从第一级到第四级两节点距离分别为1，2，4，8。12m-2()2rLmNWrkkLm系数的确定：即的二进制左移位补零rNW1()mXk1()mXj()mXk()mXj-1(2)按频率抽取的基-2FFT流图基本蝶形是DIT蝶形的转置同样共有L=4级蝶形运算，每级N/2=8个蝶形运算每个蝶形的两节点距离为，即从第一级到第四级两节点距离分别为8，4，2，1。2Lm12()21rmNWrkkm系数的确定：即的二进制左移位补零rNW1()mXk1()mXj()mXk()mXj-1216DFT256(-1)240NNNN直接计算需要次复数乘法次复数加法22FFTlog322log64NNNN利用计算需要次复数乘法次复数加法10.在下列说法中选择正确的结论。线性调频z变换(CZT)可以用来计算一个M点有限长序列在z平面的实轴上各点的z变换，使hnkzHz(1)，α为实数，α≠±1。,0,1,1kkzakN(2)，α为实数，α≠0。,0,1,1kzakkN(3)(1)和(2)两者都行。(4)(1)和(2)两者都不行。即线性调频z变换不能计算H(z)在z为实数时的抽样。10NnkknHzhnz其中抽样点须满足：0000,0,1,1jkkkkzAWAWekN，，，为任意实数。0A0W00对于说法（1），只需取，，，01A10Wa0000():kkCZTzzHz解：用于计算平面上一段螺线作等分角的抽样点上的复频谱10100,1,...,1CZT()kkkzazakNHz即起点为，初始相角和角度差均为，为螺线的伸缩率，就形成了实轴上各抽样点,。因此可以用算法来计算所以说法(1)是正确的00(2),,()kkkzakAWzzzHz对于说法则无法通过选择合适的和，使之成为平面上一段螺线作等分角后的一组抽样点。因此不能用CZT算法来计算各点的变换。14.我们希望利用一个单位抽样响应点数N=50的有限冲激响应滤波器来过滤一串很长的数据。要求利用重叠保留法通过快速傅里叶变换来实现这种滤波器，为了做到这一点，则：（1）输入各段必须重叠P个抽样点；（2）我们必须从每一段产生的输出中取出Q个抽样点，使这些从每一段得到的抽样连接在一起时，得到的序列就是所要求的滤波输出。假设输入的各段长度为100个抽样点，而离散傅里叶变换的长度为128点。进一步假设，圆周卷积的输出序列标号是从n=0到n=127，则（a）求P；（b）求Q；（c）求取出来的Q个点的起点和终点的标号，即确定从圆周卷积的128点中要取出哪些点，去和前一段的点衔接起来。解：（a）由于用重叠保留法，如果冲激响应hn的点数为N点，则圆周卷积结果的前面的1N个点不代表线性卷积结果，故每段重叠点数P为150149PN（b）每段点数为72128，但其中只有100个点是有效输入数据，其余28个点为补充的零值点。因而各段不重叠而又有效的点数Q为1001004951QP（c）每段128个数据点中，取出来的Q个点的序号从49n到99n。用这些点和前后段取出的相应点连接起来，即可得到原来的长输入序列。另外，对于第一段数据没有前一段，故在数据之前必须加上149PN个零值点，以免丢失数据。