7导数的应用4-导数的应用题.

1四：导数的应用题【例1】将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2s梯形的周长梯形的面积，则s的最小值是．【关键词】2010，江苏，高考，题14【解析】记剪下的三角形边长为xm，则01x，梯形的周长为2(1)13xxx；梯形的面积为23(1)4x，故2222(3)4(3)33(1)(1)4xxsxx，从而222242(3)(1)(3)(2)(1)3xxxxsx228(3)(13)3(1)xxx，故s在10,3上单调递减，在1,13上单调递增，当13x时取到极小值，也即最小值．132323333s．【答案】3233【例2】设球的半径为时间t的函数()Rt．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为CB．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为CD．成反比，比例系数为2C【关键词】2009，湖北，高考【解析】由题意可知球的体积为34()π()3VtRt，则2()4π()()cVtRtRt，由此可得4π()()()cRtRtRt，而球的表面积为2()4π()StRt，所以球的表面积的增长速度2()[4π()]8π()()vStRtRtRt表，即228π()()24π()()()()()()ccvRtRtRtRtRtRtRtRt表，故选D．【答案】D【例3】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2xx万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y万元．⑴试写出y关于x的函数关系式；⑵当640m米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【关键词】2009，湖南，高考【解析】⑴设需新建n个桥墩，则(1)nxm，即1mnx，所以()256(1)225612mmyfxnnxxxxxx22562256mmxmx．⑵由⑴知，1322222561()(512)22mmfxmxxxx．令()0fx，得32512x，所以64x．当064x时，()0fx，()fx在区间(064)，内为减函数；当64640x时，()0fx，()fx在区间(64640)，内为增函数；所以()fx在64x处取得最小值，此时64011964mnx．故需新建9个桥墩才能使y最小．【答案】⑴2562256mymxmx；⑵需新建9个桥墩才能使y最小．【例4】两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB︵上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为kmx，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB︵的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．⑴将y表示成x的函数；⑵讨论⑴中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．【关键词】2009，山东，高考【解析】⑴根据题意90ACB，kmACx，2400kmBCx，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为24x，对城B的影响度为2400kx，因此，总影响度y为224(020)400kyxxx．又因为垃圾处理厂建在弧AB︵的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，所以22222240.06510104001010k．解得9k，所以2249(020)400yxxx．⑵因为322818(400)xyxx422322188(400)(400)xxxx22322(800)(101600)(400)xxxx．由0y解得410x或410x（舍去），易知410(020)，．y，y随x的变化情况如下表：x0410，41041020，3y0y↘极小值↗由表可知，函数在0410，内单调递减，在41020，内单调递增，410116xyy最小值，此时410x，故在AB︵上存在C点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小该点与城A的距离410kmx．【答案】⑴2249(020)400yxxx；⑵存在，该点与城A的距离410kmx．【例5】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知20kmAB，10kmCB．为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设排污管道的总长度为kmy．ABCDOPQ⑴设(rad)BAO，将y表示为的函数；⑵请根据⑴中的函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．【关键词】2008，江苏，高考，题17【解析】⑴因为AOBO，所以O在AB的垂直平分线上，取AB的中点Q，又P是CD的中点，所以点O在PQ上．因为BAO，10kmAQ．在RtAOQ中，10(km)cosAO，10tan(km)OQ，101010tan(km)POOQ，故20π210tan100cos4yAOPO≤≤．⑵法一：因为210tan10cosy，所以只要求函数22sintancoscosU的最小值．那么cos2sinU，sincos2U，21sin()2U，22sin()11U≤．解得3U≥，取等号时，U有最小值3，此时sin3cos2，πsin13，π6，π10310tan(km)63OQ，即污水处理厂的位置在AB的垂直平分线上距离AB边103km3处．法二：42222220sincossin2sin11010coscoscosy．由0y得1sin2，则π6．当π06，，0y，所以函数在π06，上是减函数．当ππ64，时，0y，所以函数在ππ64，上是增函数．那么当π6时，函数取得最小值．此时，π10310tan(km)63OQ．（下略）设(km)OPx，将y表示为x的函数．并且此关系式确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．因为kmOPx，所以10(km)OQx．在RtAOQ中，22100(10)20200(km)AOxxx，故2220200(010)yxxxx≤≤．若选择②，则得2220200yxxx，两边平方，化简得2232(40)8000xyxy．由0≥得224(40)12(8000yy)≥，化得2202000yy≥，解得10103y≤（舍去），或10103y≥．当min10103y时，2(4010103)10310[010]63x，，1033OQ．（下略）【答案】⑴20π210tan100cos4yAOPO≤≤；⑵污水处理厂的位置在AB的垂直平分线上距离AB边103km3处．【例6】如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记2CDx，梯形面积为S．⑴求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；⑵求面积S的最大值．【关键词】2007，北京，高考，题19【解析】⑴依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系Oxy（如图），2rCDAB2r5则点C的横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程22221(0)4xyyrr≥，解得2220yrxxr，2212222Sxrrx222()xrrx，其定义域为0xxr．⑵记222()4()()fxxrrx，0xr，则2()8()(2)fxxrrx．令()0fx，得12xr．因为当02rx时，()0fx；当2rxr时，()0fx，所以12fr是()fx的最大值．因此，当12xr时，S也取得最大值，最大值为213322frr．即梯形面积S的最大值为2332r．【答案】⑴S222()xrrx，其定义域为0xxr．⑵S的最大值为2332r．【例7】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：01035kCxxx≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．⑴求k的值及fx的表达式；⑵隔热层修建多厚时，总费用fx达到最小，并求最小值．【关键词】2010，湖北，高考，题17【解析】⑴设隔热层厚度为cmx，由题设，每年能源消耗费用为()35kCxx，再由(0)8C，得40k，因此40()35Cxx，而建造费用为1()6Cxx，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为11040800()20()()2066(0)3535xfxCxCxxxxx≤≤．⑵22400()6(35)fxx，令()0fx，即224006(35)x．解得5x，253x（舍去）CDABOxy6当05x时，()0fx，当510x时，()0fx，故5x是()fx的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．【答案】⑴40k，10800()6(0)35xfxxx≤≤；⑵隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．【例8】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080yxxx≤．已知甲、乙两地相距100千米．⑴当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【关键词】2006，福建，高考【解析】⑴当40x时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540小时，要耗没313404082.517.512800080（升）．⑵当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()hx升，依题意得3213100180015()8(0120)1280008012804hxxxxxxx≤，332280080()[phone]xxhxxxx≤．令()0hx得80x．当(0,80)x时，()0hx，()hx是减函数；当(80,120)x时，()0hx，()hx是增函数．当80x时，()hx取到极小值(80)11.25h．因为()hx在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．当汽车以80千