参数方程和极坐标方程知识点归纳

专题九：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，记为),(M.注：极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋k2)或（，＋)12(k），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0≤＜2或0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)xy，极坐标是(,)，从图中可以得出：222cos,sin,tn(0).xyyxyaxxcoxsiy222yx)0(taxxyyyxOMHN（直极互化图）xO图1M4、简单曲线的极坐标方程⑴圆的极坐标方程①以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是a；（如图1）②以(,0)a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；（如图2）③以(,)2a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；（如图4）⑵直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是)0(和(0).（如图1）②过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是acos.化为直角坐标方程为xa.（如图2）③过点(,)2Aa且平行于极轴的直线l的极坐标方程是sina.化为直角坐标方程为ya.（如图4）5、柱坐标系与球坐标系⑴柱坐标：空间点P的直角坐标(,,)xyz与柱坐标(,,)z的变换关系为：cossinxyzz.00xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（，）acos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2aaxOM图6⑵球坐标系空间点P直角坐标),,(zyx与球坐标),,(r的变换关系：2222sincossinsincosxyzrxryrzr.6、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆222()()xaybr的参数方程为cossinxarybr（为参数）；（2）椭圆22221(0)xyabab的参数方程为cossinxayb（为参数）；椭圆22221(0)yxabab的参数方程为cossinxbya（为参数）；（3）双曲线22221(0)xyabab的参数方程sectanxayb（为参数）；双曲线22221(0)yxabab的参数方程cotcscxbya（为参数）；（4）抛物线22ypx参数方程222xptypt(t为参数，1tant）；参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.（6）过定点),(00yxP、倾斜角为()2的直线的参数方程sincos00tyytxx（t为参数）.8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围.)(),(tgytfxyx,