重心计算

《高等数学》下册教案第九章重积分1第九章第六次课教学内容：§9-4二、三重积分的应用教学目的：（1）掌握二重积分计算空间曲面面积。（2）会求重心及转动惯量，对质点的引力。重点：空间曲面面积的求法难点：重积分的物理应用。关键：（1）掌握二重积分计算空间曲面面积。（2）根据微元法，理解和掌握重心及转动惯量，对质点的引力的意义和求法。教学过程：§4、重积分的应用一．几何应用1．体积⑴以D为底，(,)0zfxy为顶的曲顶柱体的体积：(,)DVfxyd⑵空间区域的体积：Vdv2．面积⑴平面区域D的面积：DAd⑵空间曲面的面积：设空间曲面方程为：(,)zfxy，(,)xyD；函数(,)fxy的一阶偏导数在D上连续，求此曲面的面积。①将曲面任意分割为n个小的曲面：1S，2S，...,nS,其中iS既表示第i张小曲面又表示第i张小曲面的面积，则1niiSS；②设iD第i张小曲面iS在xoy坐标面上的投影区域，(,)iiiD，对应的曲面上的点为(,,)iiiiS，其中(,)iiif；过(,,)iii作曲面的切平面，当(,)iiiD时，小片切平面的面积记为iA，则iiAS；设n表示曲面上(,,)iii点处的切平面的法向量，i表示该法向量与z轴正方向的夹角，02i，则cosiiiA；应为曲面方程(,)zfxy，故法向量{,,1}xynff221cos1ixyff1cosiiiiSA221xyiff由所考虑小片曲面的任意性，通常写作221xySff~~~~空间曲面的面积微元，记作(,)ii(,,)iiiiSiAiiAiizn《高等数学》下册教案第九章重积分2221xydSffd，则1niiSS2211nxyiiff；③记max{iS的直径}，则2201lim1nxyiiSff。根据二重积分的定义，有2201lim1nxyiiSff221xyDffd221xyDzzd例1．求圆柱面222xyR将球面22224xyzR割下部分（222xyR）的面积。解：由对称性只考虑：2224zRxy，D：222xyR；2224xxzRxy2224yyzRxy221xyzz22222222144xyRxyRxy22224RRxy2221xyDSzzd222144DRdRxy22144DRrdrdRr22200144RRdrdrRr220142(24)2RRRr28(23)R例2．求圆柱面222xyR，222xzR所围成的立体的表面积。解：由对称性，只考虑22zRx，D：222xyR；221xyzz22210xRx22RRx22161xyDSzzd2216DRdRx222200116RRxRdxdyRx201616RRdxR例3．已知A球的半径为R，B球的半径为h且球心在A球的表面上。求夹在A球内部的B球的部分面积（02hR）。解：建立坐标系A：2222xyzR；B：2222()xyzRh；则两球面的交线在xoy面的投影区域为D：222222(4)4hxyRhR，在A球内部的B球面为：222zRhxy，则A球内部的B球的表面积222xyR22zRx222xyR《高等数学》下册教案第九章重积分322()1xyDShzzd222Dhdhxy22Dhrdrdhr222242200hRRhrhddrhr322hhR二．物理应用（以下涉及的密度函数均为连续函数）1．质量问题⑴平面薄片的质量设该薄片占有平面区域D，面密度函数为(,)xy，则质量微元为：(,)dMxyd，故(,)DDMdMxyd；⑵空间物体的质量设该物体占有空间区域，体密度函数为(,,)xyz，则质量微元为：(,,)dMxyzdv，故(,,)MdMxyzdv；例4．设一物体占有的空间区域由曲面22zxy，221xy，0z围成，密度为22xy，求此物体的质量。解：22()Mxydv3rdrddz2213000rddrrdz32．重心问题⑴平面薄片的重心设在xoy平面上有n个离散的质点(,)iixy，质量为im，1,2,in，已知其重心坐标为：11niiiniixmmx，11niiiniiymmy；其中1niiyixmM~~质点系相对于y轴的静力矩，1niixiymM质点系相对于x轴的静力矩，1niimM~~质点系的总质量，即yMxM，xMyM；设薄片占有平面区域D，面密度函数为(,)xy，相对于y轴的静力矩微元为(,)ydMxxyd，则(,)yyDDMdMxxyd，同理相对于x轴的静力矩(,)xxDDMdMyxyd，则重心坐标为：yMxMDDdyxdyxx),(),(xMyMDDdyxdyxy),(),(《高等数学》下册教案第九章重积分4特别，当质量均匀分布即(,)xy常数时，重心计算公式为：yMxMDDdxdAxdDxMyMDDdydAydD此时A表示薄片D的面积。若薄片D关于y轴对称，则0x即重心在y轴上；若薄片D关于x轴对称，则0y即重心在x轴上；一般均匀薄片的重心一定在其对称轴上，此时也称重心为形心。例3．求位于2240xyy与2220xyy之间的均匀薄片的重心。解：由条件，0x，且22213A，sinDDydrrdrd4sin202sinsindrdr3301(64sin8sin)sin3d4056sin3d240112sin3d1123173422所以7733y，重心坐标为：7(0,)3。⑵空间区域的重心类似上面的讨论，可得空间区域的重心为(,,)(,,)xxyzdvxyzdvx(,,)(,,)yxyzdvxyzdvy(,,)(,,)zxyzdvxyzdvz如果上质量是均匀分布的，即(,,)xyz常数，此时若以V表示的体积，则重心坐标为：xdvxdvVdvx，ydvVy，zdvVz；此时如果关于xoy面对称，则0z，即重心一定在对称面xoy面上，...3．转动惯量⑴平面薄片的转动惯量转动惯量是对物体在转动过程中的惯性大小的度量。对于质量为m、且位于平面上(,)xy处的质点，其转动惯量为：2xIym2yIxm22()OIxym对于质点系：质量im，坐标(,)iixy，1,2,,in，则21nxiiiIym21nyiiiIxm221()nOiiiiIxym2sinr4sinr42《高等数学》下册教案第九章重积分5对于平面薄片D，密度函数为(,)xy，相对于x轴的转动惯量微元：2(,)xdIyxyd，从而2(,)xxDDIdIyxyd，同理2(,)yDIxxyd，以及22()(,)ODIxyxyd；⑵空间物体的转动惯量空间物体为，密度(,,)xyz，则同上讨论可得：22()(,,)zIxyxyzdv...222()(,,)OIxyzxyzdv例4．求半径为a，高为h的圆柱体对于过其中心并且平行于母线的轴的转动惯量（1）。解：建立坐标系如图，过中心且平行于母线的轴即为z轴22()(,,)zIxyxyzdv22()xydv3rdrddz23000ahdrdrdz424ah412ah例5．求抛物线2yx，直线1y所围成的均匀薄片对于直线1y的转动惯量。解：21(1)yDIyd21121(1)xdxydy1231{8(1)}3xdx12302{8(1)}3xdx164202{733}3xxxdx213368{71}3751054．引力问题例6．求密度为0的均匀半球体对于在其中心的一单位质量的质点的引力。解：设球半径为R，建立坐标系如图，由对称性，0xyFF；02222dvmdMdFkkrxyz，coszdFdF{,,}nxyz，022211{,,}||nnxyznxyz，故222coszxyz；coszdFdF320222()zkdvxyz，从而320222()zzdvFkxyz203cossinrkrdrddr0cossinkdrdd220000cossinRkdddr001{2}2kRkR例7．均匀半径为R的圆板（1），过板的中心且垂直于板面的直线上距中心为a处，有一h222xyaxyz12yxy1xOdF《高等数学》下册教案第九章重积分6单位质量的质点，求圆板对质点的引力。解：建立坐标系如图，设引力为：xyzFFiFjFk，由对称性及均匀性可知0xF，0yF，221(1)coscoszddFKKdrr{,,}rxyacoscos()cosar222axyazzDFdF2cosDKdr3DaKdr322221()DKadxya3222()DrKadrdra3222200()RrKaddrra022122{()}2RKara22112{}KaaRa（0zF表明引力方向与z方向相反）x222xyRyzar