第一章-基本概念

1第一章基本概念§1.1集合1.指出下列各命题的真假.(1)}1{1;(2)}1{1;(3)}1{1;(4)}1{}1{;(5)}1{}1{;(6)}}1{,1{}1{;(7)}1{;(8)}1{;(9)}1{;(10);(11);(12).解命题)1(,(5),(6),(8),(9)和(11)为真命题,其余都是假命题.2.设},,,,,,,{hgfedcbaU,},,,{hecaM,},,,,{gfedaN,求NM,NM,NM\,MN\,''NM,''NM.解},,,,,,{hgfedcaNM;},{eaNM;},{\hcNM;},,{\gfdMN;},,,,,{''hgfdcbNM;}{''bNM.3.设BA,是两个集合,若BABA,证明:BA.证明假设BABA.则ABABABBABAA.因此BA.4.设CBA,,是三个集合,若CABA,CABA,证明:CB.证明考察任意的Bx:若Ax,则由CABA可知Cx;若Ax,则由CABA可知Cx.由此可见,CB.同理可证,BC.所以CB.5.证明下列三命题等价:(1)BA;(2)ABA;(3)BBA.证明我们有BAABAAAABABBABBBABA)(BA.所以命题(1),(2)和(3)两两等价.6.设CBA,,是三个集合,证明:(1))(\\BAABA;(2)BABAA)\(\;(3))\()\()(\CABACBA;(4))\()\()(\CABACBA;(5))(\)()\(CABACBA;(6))(\)()\()\(BABAABBA.证明(1)对于任意的元素x,我们有)(\\BAAxBAxAxBxAxBAx且且.所以)(\\BAABA(2)对于任意的元素x,我们有BAxBxAxBAxAxBAAx且且\)\(\.2所以BABAA)\(\.(3)对于任意的元素x,我们有CxBxAxCBAx,,)(\)\()\(\\CABAxCAxBAx且.所以)\()\()(\CABACBA.(4)对于任意的元素x,我们有CxBxAxCBAx或,)(\)\()\(\\CABAxCAxBAx或所以)\()\()(\CABACBA.(5)对于任意的元素x,我们有CxBxAxCBAx,,)\()(\)(,CABAxCAxBAx.所以)(\)()\(CABACBA.(6)对于任意的元素x,我们有AxBxBxAxABBAx且或者且,,)\()\()(\)(BABAxBAxBAx且.所以)(\)()\()\(BABAABBA.7.设}032|{2xxxA,写出A的幂集A2.解显然}3,1{A.所以}},3{},1{,{2AA.8.设A是包含n个元素的有限集,求A的幂集A2所包含元素个数.解对于任意的},,1,0{nk,A的由k个元素组成的子集共有knC个.所以A的幂集A2所包含元素个数为nnkknC20.§1.2映射1.设m是一个正整数,Zn,作带余除法:rmqn,mr0.规定rnf:,问:f是否为Z到Z的映射?单射?满射?答显然f是Z到Z的映射.由于0)2()(mfmf,因此f不是单射.由于mnf)(,Zn,因此不是满射.2.(1)设f是A到的B单射,g是B到C的单射,证明:fg是A到C的单射.(2)设f是A到的B满射,g是B到C的满射,证明:fg是A到C的满射.3证明(1)假设Ayx,且yx.由于f是A到的B单射,因此Byfxf)(),(且)()(yfxf.由于g是B到C的单射,因此Cyfgxfg))(()),((且))(())((yfgxfg,即))(())((yfgxfg.由此可见,fg是A到C的单射.(2)任意给定Cz.由于g是B到C的满射,因此我们可取By,使得zyg)(.由于f是A到B的满射,因此我们可取Ax,使得yxf)(.于是,zygxfgxfg)())(())((.由此可见,fg是A到C的满射.3.设}3,2,1{A,},,{cbaB,问:(1)有多少个A到B的映射?(2)有多少个A到B的单射?满射?双射?解(1)令F表示A到B的所有映射组成的集合,P表示cba,,这三个元素的所有有重复和无重复的排列组成的集合.对于任意的Ff,令)3()2()1()(ffffφ.显然φ是F到P的双射,并且273||3P.所以27||F.也就是说,A到B的不同映射共有27个.(2)设φPF,,如(1)中所说.显然,对于任意的Ff,f是单射(满射)当且仅当)3()2()1()(ffffφ是cba,,这三个元素的一个无重复的排列.由于cba,,这三个元素的无重复的排列共有6个,所以A到B的不同单射(满射)共有6个.4.设给出三个Z到Z的映射:xxf2:;12:xxg;.为奇数时当为偶数时当xxxxxh,21,,2:(1)计算:gf,fg,fh,gh,hf,hg;(2)证明:gf,是单射,并分别求出gf,的一个左逆映射;(3)证明:h是满射,并求出h的一个右逆映射.解(1)对于任意的Zx,24)12(2))(())((xxxgfxgf;141)2(2))(())((xxxfgxfg;xxfhxfh))(())((;xxghxgh))(())((;;为奇数时当,为偶数时当xxxxxhfxhf,1,))(())((.为奇数时当,为偶数时当xxxxxhgxhg,,1))(())(((2)Zyx,,若yyfxfx2)()(2,则yx;若12)()(12yygxgx;则4yx.所以f和g都是单射.由(1)可知,h既是f的一个左逆映射,又是g的一个左逆映射.(3)Zx,我们有xxh)2(.所以h是满射.由(1)可知,f和g都是h的右逆映射.5.设f是A到的B映射,g是B到的C映射.(1)若fg有左逆映射,问gf,是否都有左逆映射?(2)若fg有右逆映射,问gf,是否都有右逆映射?解(1)若fg有左逆映射h,则AIfghfgh)()(,从而,gh是f的左逆映射.但是g未必有左逆映射.例如,令NCBA,定义A到的B映射f和B到的C映射g如下:;时当,时当1,11,1:xxxxf.时当,时当1,11,1:xxxxg则NIfg有左逆映射;g不是单射,从而,g没有左逆映射.(2)若fg有右逆映射h,则CIhfghfg)()(,从而,hf是g的右逆映射.但是f未必有右逆映射.例如,在上例中,NIfg有右逆映射,f不是满射,从而,f没有右逆映射.6.设BA,都是有限集,且||||BA.又BAf:是一个映射,证明:f是单射f是满射.证明由于f是A到B的映射,因此BfIm.当f是单射时,f是A到fIm的双射,从而,|||||Im|BAf.这样,由BfIm可知BfIm.所以f是满射.当f是满射时,对于每一个By,任意定一个元素Ax,使得yxf)(,并令xyg)(.于是,g是B到A的单射.由于||||BA,因此g是双射.又因BIgf,所以f是双射,从而,f是单射.§1.3卡氏积与代数运算1.设}4,3,2,1{A,问下列各命题是否正确?(1)AA}1{;(2)AAA;(3)AA;(4)|}1{|||AA;(5)||||AAA;(6)||||2AAA.答命题(3),(4)和(6)都正确;其余命题都不正确.2.判断下列法则”“是否为有理数域Q上的代数运算:5(1))(21baba;(2)22babba;(3)22bababa;(4)abba;(5)baba||.解(1),(3)和(5)中的法则”“都是有理数域Q上的代数运算;其余的法则”“都不是.3.设},,{cbaA上的代数运算适合结合律,交换律,试完成下列表中的计算.abcaabbcacc解由于适合交换律,因此我们有abcaabcbbcacca由于适合结合律,因此cacbccbcc)()(.又因cba,cbc,cbb,根据cbcc)(可以断言bcc.所以我们有abcaabcbbcaccab4.在非零实数集R上普通数的除法运算是否适合结合律、交换律?答小学生都知道,数的除法运算不适合结合律和交换律,因此无需举例说明.5.在实数集R上规定一个代数运算baba2:,问这个代数运算是否适合结合律、交换律?解我们有5131)11(,731)11(1;521,312.由此可见,这个代数运算不适合结合律和交换律.66.证明定理1.9.注定理1.9的内容如下:(1)设A上的代数运算适合结合律;AB,到A的代数运算⊙对于适合左分配律,则对于A中任意n(2n)个元素naaa,,,21,B中任意元素b,都有b⊙baaan()(21⊙ba()1⊙ba()2⊙)na.(2)设A上的代数运算适合结合律;BA,到A的代数运算对于适合右分配律,则对于A中任意n(2n)个元素naaa,,,21,B中任意元素b,都有)()()()(2121babababaaann.证明这里只证明定理1.9(1)成立.由于⊙对于适合左分配律,因此b⊙baa()(21⊙ba()1⊙)2a.假设当rn(2r)时有b⊙baaan()(21⊙ba()1⊙ba()2⊙)na.当1rn时,由于适合结合律,根据归纳假设,我们有b⊙)(21naaab⊙))((121rraaaab⊙baaar()(21⊙)1rab((⊙ba()1⊙ba()2⊙bar())⊙)1rab(⊙ba()1⊙ba()2⊙bar()⊙)1rab(⊙ba()1⊙ba()2⊙)na.所以对于一切正整数n,有b⊙baaan()(21⊙ba()1⊙ba()2⊙)na.7.设},,,{cbaoA上的两个代数运算与⊙由下列运算表给出:oabcooabcaaocbbbcoaccbao证明:⊙对于适合左、右分配律.证明事实上,对于任意的Azyx,,,若ox或ax,则x⊙ozy)(x(⊙xy()⊙)z;若bx或cx,则x⊙xzyzy()(⊙xy()⊙)z.总之,我们有⊙oabcoooooaooooboabccoabc7x⊙xzy()(⊙xy()⊙)z,Azyx,,.这就是说,⊙对于适合左分配律.其次,对于任意的Azyx,,,若zy,则)(zy⊙ox⊙yox(⊙zx()⊙)x;若oy,则)(zy⊙zx⊙yx(⊙zx()⊙)x;此外,对于任意的Ax,有)(ba⊙xc⊙bx⊙ax(⊙bx()⊙)x,)(cb⊙xa⊙bxxox⊙b(⊙cx()⊙)x,)(ac⊙xb⊙cx⊙cx(⊙ax()⊙)x.这样一来,注意到适合交换律,可以断言)(zy⊙xy(⊙zx()⊙)x,Azyx,,.这就是说,⊙对于适合右分配律.§1.4等价关系与集合的分类1.在集合}|{为平面上的直线llA中,规定二元关系～为1l～2l1l‖2l.证明:～是A上的一个等价关系,并确定相应的～等价类.解平行线的标准