第三章-环

42第三章环§3.1环的定义1.在环R中,计算3)(ba+.解对于任意的Rba∈,,我们有)))()((()(3babababa+++=+))())(((bbaababa++++=))((22babbaaba++++=)(22babbaaa+++=)(22babbaab++++322223bbababbaabbaabaa+++++++=;特别地,当baab=时,3223333)(babbaaba+++=+.2.设),(+R是Klein四元群,即},,,0{babaR+=,其加法表为+0aba+b00aba+baa0a+bbbba+b0aa+ba+bba0在R中再规定一个乘法表:·0aba+b00000a0a0ab0b0ba+b0a+b0a+b证明:),,(⋅+R是一个无单位元的不可交换环.证明任意给定Rzyx∈,,.先考察zxy)(和)(yzx:显然,当zyx,,这三个元素中至少有一个为0时以及当by=或bz=时,都有43)(0)(yzxzxy==.此外,当ax=且},{,baazy+∈时,)()(yzxazxy==;当bx=且},{,baazy+∈时,)()(yzxbzxy==;当bax+=且},{,baazy+∈时,)()(yzxbazxy=+=.因此我们总有)(0)(yzxzxy==.这就表明乘法满足结合律.再考察)(zyx+和xzxy+:显然,当zyx,,中至少有一个为0时,xzxyzyx+=+)(.现在假设zyx,,都不为0,分两种情形讨论:情形1.zyx+=.这时,2)(xzyx=+.我们还有20)(aaabaaab==+=++,2000))(bbabba==+=++,2)(0)()()(babababbaaba+=+=++=+++.这样一来,由于加法满足交换律,我们可以断言,当zyx,,两两不等时,2xxzxy=+,从而,xzxyzyx+=+)(.情形2.zyx+≠.若zy=,则00)(=⋅=+xzyx,0=+=+xyxyxzxy,从而,xzxyzyx+=+)(.若zy≠,则yx=或zx=.由于加法满足交换律,不妨设yx=.由于,)(abaabaa+==+)(0))((baaaaaaabbaaa++=+===++,babbbbbababb+=+==+=+0)()(,)(0))((babbbbbbababb++=+===++,ababababbaababa)())((0)()))(((++++==+=+++,bbabababaababbaba)())(()()()))(((++++=+=+=+++,我们可以断言,xzxyzyx+=+)(.这样一来,我们总有xzxyzyx+=+)(.同理可证,zxyxxzy+=+)(.综上所述,),,(⋅+R是一个环.由乘法表立即可知,它是无单位元的不可交换环.3.证明:二项式定理:iinniinnbaCba−=∑=+0)(44在交换环中成立.注:这里约定,nnaba=0,nnbba=0.证明设ba,是某个环中的任意两个元素.当1=n时,显然iinniinnbaCba−=∑=+0)(.假设当)1(≥=kkn时iinniinnbaCba−=∑=+0)(,即iikkiikkbaCba−=∑=+0)(.于是,当1+=kn时我们有kknbabababa))(()()(1++=+=++iikkiikbaCba−=∑+=0)(iikkiikbaCa−=∑=0iikkiikbaCb−=∑+0iikkiikbaC−+=∑=1010+−=∑+iikkiikbaCbaCCbaCkkkkk)(01010++=+112112)()(+−−++++++kkkkkkkkkkkbCabCCbaCC⋯.由于010+=kkCC111===++kkkCCk,kjCCCjkjkjk,,2,1,11⋯==++−,因此nba)(+baCbaCkkkk110101++++=11112121++++−+++++kkkkkkkkbCabCbaC⋯iinniiniikkiikbaCbaC−=−++=+∑∑==0)1(101.所以,对于一个环中的任意元素ba,和任意的正整数n,总有iinniinnbaCba−=∑=+0)(,即二项式定理成立.4.设R是所有分母为2的非负整数次幂的既约分数组成的集合,问:R关于数的加法是否作成一个环?答这道题的题设有歧义因此答案不确定.按照现行中学数学教材的说法,整数就是整数,不是分数.如果采用这一观点,R关于数的加法不作成一个环,这是因为:例如,R∈21,但是R∉=+12121.如果将集合R理解为集合}1)2,(,|2{=∈nnaana且为非负整数ZZZZ,那么R关于数的加法作成一个环,其理由如下:事实上,(1)对于任意的ZZZZ∈a,由于02aa=且1)2,(0=a,因此Ra∈.(2)设Ryx∈,.于是,存在ZZZZ∈nmba,,,,,0,≥nm使得1)2,(=ma,1)2,(=nb,max2=,nby2=.45显然Rcbabayxknmmnnm∈=+=+=++222222,其中,,jbacmn22+=,jnmk+=22,)2,22(nmmnbaj++=;Rdabxyknm∈==+22,其中,jabd=,jnmk+=22,)2,(nmabj+=.这就是说,R关于数的加法和乘法都封闭.(3)RxRx∈∀∈−,,.由)31(−可知,R是有理数环QQQQ的子环.这就是说,R关于数的加法作成一个环.5.设环R对加法作成一个循环群,证明:R是交换环.证明设a是加群),(+R的一个生成元.于是,对于任意的Ryx∈,,存在ZZZZ∈nm,ZZZZ,使得max=,nay=,从而,yxmanamaanamannamaxy=====))(())(()())((.所以R是交换环.6.设R是整环.若R中存在非零幂等元e(即eee=≠2,0),证明:e是R的单位元.证明设e是R中的非零幂等元.任取Ra∈.显然,当0=a时,我们有aaeea===0.现在假设0≠a.我们有eaae=2,aeae=2.由于R是整环,从而,在R中消去律成立,因此,注意到0≠e,由以上两式可得aaeea==.综上所述,Raaaeea∈∀==,.所以e是R的单位元.7.设a是有单位元环R的一个可逆元,证明:a−也是一个可逆元,且11)(−−−=−aa.证明我们有11)1)(1()1()1())((11111===−−=−−=−−−−−−−aaaaaaaaaa.因此1−−a是a−的右逆元.同理可知,1−−a是a−的左逆元.所以a−也是一个可逆元,且11)(−−−=−aa.8.证明:对于一个有单位元的环,加法交换律是环定义里其它条件的结果.证明设1为环R的单位元.对于任意的Rba∈,,利用分配律可得bbaababa+++=+++=++)11()11())(11(,bababababa+++=+++=++)(1)(1))(11(,从而,46bababbaa+++=+++.由于在群),(+R中消去律成立,由上式可得abba+=+.这就表明加法满足交换律.9.证明:},|{][是虚数单位ibabiai,QQQQQQQQ∈+=,关于数的加法、乘法作成一个域(称为Gauss数域).证明显然,][iQQQQ包含无限多个复数,并且关于数的加法、乘法作成一个以数0为零元、以数1为单位元的交换环(验证从略).对于任意的][ibiaQQQQ∈+,0≠+bia,我们有][2222iibabbaaQQQQ∈+−++,1))((2222=+−+++ibabbaabia,从而,bia+可逆.所以][iQQQQ关于数的加法、乘法作成一个域.10.设},|3{QQQQ∈+=babaF,证明:F关于数的加法、乘法作成一个域.证明显然,F包含无限多个数,并且关于数的加法作成一个以数0为零元的加群(验证从略).其次,对于任意的QQQQ∈dcba,,,,我们有Fbcadbdacdcba∈+++=++3)()3()3)(3(.再注意到数的乘法满足结合律和交换律,数的乘法对加法满足分配律以及FaaaF∈∀=⋅∈,1,1,可以断言,F关于数的加法、乘法作成一个以0为零元、以1为单位元的交换环.最后,对于任意的Fba∈+3,03≠+ba,我们有Fbabbaa∈−−+−3332222,1)333)(3(2222=−−+−+babbaaba,从而,3ba+可逆.所以F关于数的加法、乘法作成一个域.11.证明:环的左(右)零因子是不可逆元,并找出模20剩余类环20ZZZZ的所有可逆元与零因子.注:这里宜将“环”改为“有单位元环”.解设R是一个有单位元环.Rba∈,,,,,0≠a,0≠b,0=ab.假设a可逆,则00)()(1111=====−−−aababaabb,这与0≠b矛盾.假设b可逆,则00)()(1111=====−−−bbabbbaaa,这与0≠a矛盾.a和b都不可逆.这就表明,有单位元环的左零因子和右零因子都是不可逆元.在20ZZZZ中,对于任意的整数k,][k是可逆元当且仅当1)20,(=k.因此,20ZZZZ中的可逆元是:]1[,]3[,]7[,]9[,]11[,]13[,]17[和]19[.20ZZZZ中的其它非零元都是零因子.12.设F是一个有四个元素的域,证明:(1)2Ch=F;47(2)F的不等于0和1的元素都适合方程12+=xx;(3)作出F的加法表与乘法表.注:“有四个元素”不意味着“仅有四个元素”.因此宜将问题表述成“设F是一个由四个元素组成的域,……”,否则结论不成立.解由于F的乘法群∗F是3阶群,从而,是循环群,因此我们可设},,1,0{2aaF=.显然,aa≠+1,11≠+a.假设01=+a,则1−=a,从而,2)1)(1(1a=−−=.这是一个矛盾.所以01≠+a,从而必有21aa=+.同理,221aa≠+,112≠+a.假设012=+a,则1−=a,从而,aa==−−=22)()1)(1(1.这也是一个矛盾.所以012≠+a,从而必有222)(1aa=+.这样一来,a和2a都是方程12+=xx的解.所以F的不等于0和1的元素都适合方程12+=xx.由21aa=+和aaa==+222)(1可知,a≠−1,21a≠−.此外,显然还有01≠−.因此必有11=−,即011=+.所以2Ch=F.(注证明2Ch=F的方法不止一种.例如,我们还可以这样来证明:我们知道,FCh是加群),(+F中某个非零元素的阶,从而0Ch≠F,而且FCh是素数.另一方面,根据Lagrange定理,加群),(+F中元素的阶只可能为2,1和4.所以2Ch=F.读者不妨用反证法来证明2Ch=F.)根据以上讨论立即可以得到F的加法表与乘法表如下:+01aa2001aa2110a2aaaa201a2a2a10·01aa2000001012a2a0aa2148a20a21a13.在7ZZZZ中,证明:777]3[]2[]5[+=,]5[]5[7=.证明证明证明证明根据定理3.4的推论,我们有7777,,)(ZZZZ∈∀+=+bababa.所以7777]3[]2[])3[]2([]5[+=+=]5[]1[5]1[3]1[2])1[]1[]1([])1[]1([7777==+=++++=.§3.2子环1.设R是交换环,令}0,|{=∈∃∈=nanRaN使NNNN.证明:N≤R(N中的元素称为幂零元,N称为幂零子环).证明显然N∈0.设Nba∈,.于是,存在NNNN∈nm,,使得0==nmba.根据二项式定理,我们有iinmnmiinmmmbaCba−++=+∑=+0)(.显然,当ni≤≤0时,minm≥−+,从而,00===−+−+−++iininmiinminmiinminmbaCbaaCbaC;当nmin+≤时,00===−−++−−++−++niinminmnininminmiinminmbaCbbaCbaC.因此0)(=+mmba,从而,Nba∈+.其次,我们有00)1()1()(=−=−=−nmmmaa,从而,Na∈−.最后,我们有00)(===mmmmbbaab,Nab∈.这样一来,