《三角恒等变换》复习课资料

信心来自于实力，实力来自于勤奋!!!主备：向以钰、喻浩高一数学集体备课审查：牟必继复习回顾)cos(sinsincoscos)sin(1、两角和与差的正弦、余弦和正切)cos(sinsincoscossincoscossin)sin(sincoscossin)tan()tan(tantan1tantantantan1tantan2、倍角公式cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。22cos1cos222cos1sin23、半角公式2cos2cos12sin2cos12tancos1cos1sincos1cos1sin注：在半角公式中，根号前的正负号，由角所在的象限确定.2上述公式间的联系如下：S(+)C(+)S()C()-以代相除T(+)相除T()-以代＝＝2S2C2T相除2以代2S2C2T相除积化和差和差化积和差倍半升降幂公式例1、已知，23cos1cos1sin1cos1cos1sin1化简：解：原式2sin22cos2)2cos2(sin2sin22cos2)2cos2(sin2222222sin22cos2)2cos2(sin2sin22cos2)2cos2(sin22又∵23∴,4322∴原式=22(sincos)(sincos)22222cos2sin2cos2sin2222)2cos2(sin22)2cos2(sin222cos2注：⑴根号下含有三角函数式的开根号问题，需要升幂；⑵本题最关键的是开出根号后，去绝对值的问题，这里需要对角的范围进行限定.例2、求证：sinsin)cos(2sin)2sin(sinsin)cos(2)2sin(sinsin)cos(2])sin[(sinsin)cos(cos)sin(sinsin右边证明：左边∴sinsin)cos(2sin)2sin(注：证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目标的有目的化简.与三角函数有关的最值问题对于与三角函数有关的最值问题，我们可以把函数式化成一个角的一个三角函数，从而利用三角函数的最值来求解.下面我们分类加以说明.sinx1-153sinx82.y解y=的最大值和最小值分别是和，的最大值和最小值分别是和二、y=asinx+bcosx型一、y=a+bsinx型例1求函数y=5-3sinx的最大和最小值.分析根据正弦函数的最值情况来定.3sin4cos)yxx4解：＝5sin(x+)(是满足tan=的锐角30222xxxmax，++，当+＝时，y5sin25sin(x+)＝＝5,min,),5.2y433而sin=sin(+＝cos＝555min.ymax故y＝5，303sin4cos.22xyxx当时，求例函数的最值sinxcos.x分析这是关于，的一次齐次式，可化成一个角的一个三角函数式sinxc+dsinxay+b三、型53sinx.2si3nxy例求函数的最值+53sinx(y+3)sinx2,32sinxyyy分析可解：由得＝5若利用反求法矛盾，+2sinxy+3sinx1y5＝，2222)11,326(y+3)yyy2(5sinx，即+160,min23ymax2解得：y8.y＝8，.3ya22四、sinx+bcosx型443y22求函数sinx+cosx例的最值.22分析这是关于sinx、cosx的二次齐次式，可先降次.解：1cos21cos234322xxy22+sinx+cosx＝+41cos2.2x7＝+2min3.ymaxy＝4,5sinx2sinx3yay2222五、sinx+bcosx+ccosx型求函数sinx+cosx+cosx例的最值.2sinx3y22解：sinx+cosx+cosx1cos21cos2sin2xxx+＝++322sin2xcos222sin2x24x＝++＝（+）+min2222.ymaxy＝+，sinx2242336yay222六、sinx+b+c型求函数cosxsinxcosx+，x[,例]的最值..分析对于这种二次非齐次式，可以看作是可化为二次函数的函数求解解：242341y222cosxsinxcosx+cosxcosx+2213()33＝cosx211,,3322又xcosxminmax21,;321,.32maxmin15当x＝时，(cosx)y＝41当x＝时，(cosx)y＝4sinxsinxsinx7inxyay例七、（+cosx)+bcosx型求函数+cosx+scosx的最值.2sinx12sinxcosx.sinx分析注意到（+cosx）＝可把+cosx看作是一个整体，利用换元法.解：sinxsinxsin(x),422t设+cosx＝t,t＝+cosx＝2+222ttsinx12sinxcosx,sinxcosx21＝（+cosx）＝＝222t111y=tt(1)1,2222.t1代入得：+＝+t＝2211;22tminmax1当t＝时，y＝-当t＝时，y＝2221.3sinx1(2;3sinxx3sin43sinx6sinx11.22.f(x)2220-22f(x).13.f(x)222yyyyaaaa1232求下列函数的最值：＝logcosx);2＝log+x＝4+3cosx0,＝cosx+cosx2已知函数＝cosxcosx+x的最小值是，试确定实数的值，并求出的最大值讨论函数＝cos（x2).2）+coscos(xcosxcos的值域、周期性、奇偶性及其单调性巩固练习2()3cos+sin0,.6;5II,3,.36fxxxcosxRfxyfx设函数且函数的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是I求的值如果在区间上的最小值为求例的值1313()cos2sin2222fxxx解：（I）3sin232x2,632依题意得1.2解之得备选例题3)2（II)由（I）知,f(x)=sin(x+357,0,,3636xx又当时，1sin()1,23x故513(),,3622fx从而在上取得最小值133.22因此，由题设知31.2故(2cos,tan()),(2sin(),tan()),22422424().,,0,.xxxxabfxabfx已知向量令求函数的最大值最小正周期并写出函数在上的单调区间例()22cossin()tan(+)tan()2242424xxxxfxab解：1tantan1222222cos(sincos)222221tan1tan22xxxxxxx22sincos2cos1222xxxsincosxx=2sin().4x2,2;函数的最小正周期是最小值是0,,[,].44该函数在区间上的单调递增在区间单调递减方法归类三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形（结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及复杂的综合问题，一般的考虑方法是：⑴找差异：角、名、形的差异；⑵建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；⑶变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后，正用或逆用公式.