复数的三角形式

复数的三角形式新课讲授复数的三角形式OZbaZbiaz)3(),()2()1(向量点代数形式),(Rba一、复数的表达二、复数与复平面z=a+bi向量OZ点Zxy0abZ(a,b)的模即为向量复数的模复数的虚部复数的实部OZzba||•三角函数的定义:O),(yxPxrsincostgrxryxyy有什么关系？与则所在射线为终边的角，以轴的非负半轴为始边，是以，设,,||rbaOZxOZr新课讲授rxy0abZ(a,b))sin(cosirbiazsin,cosrbra我们有：的三角形式叫做复数)sin(cosbiair复数的辐角－复数的模，－r复数的三角形式rabθ㈠复数辐角的概念：①以x轴的正半轴为始边，向量oz所在的射线（起点是o）为终边的角θ，叫复数z=a+bi的辐角。②复数辐角用ArgZ=2kπ+θ表示③适合0≤θ＜2π的辐角θ的值，叫辐角主值记作argz，即0≤argz＜2π。复数(除0外)与它的辐角主值一一对应。④当a∈R+时，arga=0，arg（-a）=πargai=π/2，arg（-ai）=3π/2，arg0不一定XOYZ(a,b)·复数的三角形式条件：Z=（i）①r≥0。②加号连接。③Cos在前，Sin在后。④θ前后一致，可任意值。rCosSinθθ+例题讲解)32sin32cos(3)5()3sin()3cos()4()611sin311(cos3)3()3cos3(sin3)2()3sin3cos(3)1(1iiiii值：、求下列复数的复角主复数的三角形式例题讲解04的三角形式是，则、若aaiii2)4(1)3(1)2(3)1(3角形式、把下列复数表示成三)611sin611(cos6)2()3sin3(cos4)1(2ii数形式、把下列复数表示成代复数的三角形式5：将下列复数化为三角形式；①552iSinCos②43432iCosSin③3321iSinCos④552iSinCos⑤SiniCos259592iSinCos47472iSinCos343421iSinCos54542iSinCosiSinCos例题讲解的值，求且，、若5751,1||||,721212121zzizzzzCzz)tan(7316的值为，则和的辐角主值分别为与、复数ii)77()3(54的辐角主值为，则复数、设ziiz复数的三角形式复数的三角形式)2(cossin118i）（形式、将下列复数化为三角新课讲授)sin(cos)sin(cos22221111irzirz法与乘方一、复数三角形式的乘各复数的辐角的和模的积，积的辐角等于等于各复数的两个复数相乘，积的模复数的三角形式)]sin()[cos()]cossinsin(cos)sinsincos[(cos)sin(cos)sin(cos212121212121212122211121irrirririrzz几何意义是什么呢？新课讲授)sin(cos)sin(cos22221111irzirz法与乘方一、复数三角形式的乘nnrrrr2121,若复数的三角形式)]sin()[cos()sin(cos)sin(cos)sin(cos21212122211121nnnnnnnirrriririrzzz)sin(cos)]sin(cos[ninrirnn棣莫弗定理例题讲解)3()]80cos80(sin3[266ii，、计算：)6sin6(cos3)12sin12(cos21ii、计算：)(0913用代数形式表示对应的复数向量，求与，得到逆时针方向旋转按对应，把与复数、向量ZOZOOZiOZ复数的三角形式例题讲解的模与辐角，求、已知1)12sin12(cos45ziz是实数？是什么值时，、正整数)31(4nin的示意图出，在直角坐标平面上画，若、已知复数)(|1|)(,sincos63xfyzzxfRxxixz复数的三角形式例题：例1．复数z1与2+4i的积是2-16i，复数z2满足1i)i167(zz21.如果复数z1的辐角主值是，z2的辐角主值是，求+的值.分析与解答：①+是z1·z2的一个辐角；②必须先求出z1和z2，并由此确定、的范围；由已知i23i21i81i42i162z1,将其代入另一个条件，解得i51i23i177z2，∴z2=1-5i,∴23),i23arg(zarg1,223),i51arg(zarg2,∴2725,又z1·z2=(-3-2i)(1-5i)=-13+13i.+是z1·z2的一个辐角，且11313)(tg.∴411.解该题时，很多同学由于不注意、以及+的范围，从而得出错误结论.、分别在[0,2)内，但+不一定在这个范围内，要结合z1·z2=-13+13i对应的点在第二象限内，且2725，最后确定+的值.例2．已知复数i2222,i2123z，复数32z,z在复平面上所对应的点分别为P、Q.求证：ΔOPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.分析与解答：从复数的角度，证一个三角形是等腰直角三角形，一是用到模相等，另一是用到复数除法的几何意义或三角形中的角就是两个有共同始点的复数辐角的差.解法一：)6sin(i)6cos(i2123z4sini4cosi2222,∴12sini12cos)46sin(i)46cos(z,∴)12sin(i)12cos(z又)43sini43)](cos3sin(i)3[cos(z32125sini125cos.因此OP，OQ的夹角为2)12(125，∵OP⊥OQ，又∵|OP|=|z|=1,|OQ|=|z22|=1,∴|OP|=|OQ|,∴ΔOPQ为等腰直角三角形.分析与解答：.i1i43i7i43i42i35i43i42)i1)(i41(z例3．设=z+ai(a∈R),i43i42)i1)(i41(z且2||，求的辐角主值的取值范围.又tg=a-1,∴-1≤tg≤1,∴的辐角主值)2,47[]4,0[.∵=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i且2||，∴2)1a(12，解得0≤a≤2,此题首先要算对了，还要会算模以及辐角.其中，最容易出问题的是的范围的确定.仅有-1≤tg≤1是不够的，还应当注意到=1+(a-1)i的实部为1，虚部a-1在[-1，1]内，所以所对的辐角只能在第一和第四象限.例4．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O为原点）.已知Z2对应复数Z2=1+i3，求Z1和Z3所对应的复数.分析与解答：根据题意我们不妨画出草图，以便分析.根据平面几何的知识，我们知道正方形的一条对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，而且斜边是直角边的2倍.由复数运算的几何意义知：i213213)i2222)(i31(22)]4sin(i)4[cos(z21z21i231231)i2222)(31(22)4sini4(cosz21z23求z1时是将OZ2→向顺时针方向旋转45，且模缩短到原来长度的21，符合复数除法的几何意义，也可以直接写成4sini4cosi3121.而在求z3时，也可将OZ1→逆时针旋转90得到，因此用z3=z1·i算更方便.例5．设复数z=3cos+i·2sin,求函数y=tan(-argz)(20)的最大值由题，∵20∴sin0,cos0,tg0,又z=3cos+i·2sin∴)2,0(zarg且tan32cos3sin2)tan(argz,∴tany=tan(-argz))tan(argtan1)tan(argtanzz2tan321tan31tan2tan31∵62tan2tan32tan2tan3,∴126621tany,当且仅当tan2tan3时等号成立，此时23tan2，126arctgymax，此时26arctg.复数的三角形式)sin(cos)sin(cos22221111irzirz法与乘方一、复数三角形式的乘)]sin()[cos(21212121irrzzzirirz)sin(cos)sin(cos111222求复数思考：若012z、除法法则法与开方二、复数三角形式的除新课讲授的差角减去除数的辐角所得的辐角等于被除数的辐除数的模所得的商，商于被除数的模除以两复数相除，商的模等)sin(cos)sin(cos22221111irzirz)sin(cos)sin(cos22211121irirzz复数的三角形式)]sin()[cos(212121irr例题讲解)1()30cos30(sin3)2()3sin3(cos2(1)iii练习：)65sin65(cos2)34sin34(cos41ii、计算：32),0()3(2)()1(2223的三角形式为，则的模为、已知复数zRaaiaiaiz复数的三角形式112x）（在复数范围内解方程16100x）（156x）（145x）（134x）（123x）（1007100x）（2、开方法则法与开方二、复数三角形式的除新课讲授)sin(cos)sin(cos1irziz)sin(cos)]isin(cos[)(11irzzNnnzznn次方根，则的是设)sin(cos)sin(cosirninn)(2Zkknrn2nkrn复数的三角形式2、开方法则法与开方二、复数三角形式的除新课讲授)1,,1,0()2sin2(cos)()sin(cosnknkinkrNnnirzn次方根为的复数分之一倍的和的的个复数的辐角与它们的辐角分别等于这次算术根，的模的们的模都等于这个复数个复数，它次方根是复数的1,,2,1,02)(nnnnNnn复数的三角形式例题讲解的五次方根、求复数5i03245x、在复数集中解方程的立方根以及六次方根、求13i1323)2321()2321(6的倍数时为不是，当的倍数时为是，求证：当、已知nniinn复数的三角形式例题讲解82)31()34)(1(8ii、计算：2arg33||1)(1)0(sincos0144，求，，已知，、设复数zziz复数的三角形式)(tan)sin(cos)tan1()sin(cos)2(9258iiii、计算：复数的三角形式有几个？的求这样）（满足且存在，、设nnin