裂项相消

裂项相消法求和所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相邻的两项彼此相消,就可以化简后求和.一些常用的裂项公式:11)1(nn12)12(1)2(nn)2(1)3(nnnn11)4(111nn)121121(nn21nn1)211(nn21注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和小试身手应该怎样拆项？[思考探究]用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提.一般地，形如{}({an}是等差数列)的数列可选用此法来求.裂项法求和例：求数列)(,3211,,43211,3211,211,1*Nnn的前n项和提示：1211121113121211[2nnnnnSn)111(2)1(2211nnnnnan1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于()A.1B.C.D.当堂训练解析：∵an＝，∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5答案：B当堂训练裂项法求和13)1311(31)]131231()7141()411[(31)13)(23(1741411nnnnnnn)13)(23(1nn31)131231(nn提示：∴)13)(23(11071741411nn求和在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.(1)若Tn为数列{}的前n项和，求Tn；(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值.[思路点拨]当堂测试[课堂笔记](1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得：a1＝1，d＝1，所以an＝n，所以，Tn=(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λ，∴λ≤，又＝n＋＋2≥4，当且仅当n＝，即n＝1时取等号.任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，∴λ的最大值为4.