概率论第四五章随机变量的数字特征答案

1概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第四章随机变量的数字特征（一）一、选择题：1．设随机变量X，且()EX存在，则()EX是[B]（A）X的函数（B）确定常数（C）随机变量（D）x的函数2．设X的概率密度为910()900xexfxx，则1()9EX[C]（A）919xxedx（B）919xxedx（C）1（D）13．设是随机变量，()E存在，若23，则()E[D]（A）()E（B）()3E（C）()2E（D）()23/3E二、填空题：1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6,0.3,.01，则()EX0.52．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)81()22xfxe，则2(21)EX93．设随机变量X的概率分布，则2(3)EXX116154．设随机变量X的密度函数为||1()()2xfxex，则()EX0三、计算题：1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求()EX133()3454.510105EX解：X21012P1/51/61/51/1511/3022．设随机变量X的密度函数为2(1)01()0xxfx其它，求()EX101()2(1)3EXxxdx解：3．设随机变量2~(,)XN，求(||)EX2222()22201||||22222xyyxxedxyyedyyedy解：令4．设随机变量X的密度函数为0()00xexfxx，试求下列随机变量的数学期望。（1）21XYe；（2）2max{,2}YX；（3）3min{,2}YX解：（1）2101().3xxEYeedx（2）22,02max{,2},2xYXxx，22202()22.xxEYedxxedxe（3）3,02min{,2},2,2xxYXx22302()21.xxEYxedxedxe3概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第四章随机变量的数字特征（二）一、选择题：1．已知()1,()3EXDX，则2[3(2)]EX[B]（A）9（B）6（C）30（D）362．设~(,)XBnp，则有[D]（A）(21)2EXnp（B）(21)4(1)1DXnpp（C）(21)41EXnp（D）(21)4(1)DXnpp3．设服从参数为的泊松分布，23，则[D]（A）()23()23ED（B）()2()2ED（C）()23()43ED（D）()23()4ED二、填空题：1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6,0.3,.01，则()DX0.452．设随机变量X的密度函数为||1()()2xfxex，则()DX23．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()[()]DXEX1/34．设正态分布Y的密度函数是2(3)1ye，则()DX1/2三、计算题：1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3,0.5,.02，求：（1）21YX的期望与方差；222()10.320.530.21.9()()()10.340.590.2(1.9)0.49()2()12.8()4()1.96EXDXEXEXEYEXDYDX解：42．设随机变量~(0,1)XN，试求34()()EXDXEXEX、、与。解：因为~(0,1)XN，所以22221()12xEXxedx（利用分部积分）。222222001222();222xxxEXxedxxedxde222()()()1;DXEXEX23321()02xEXxedx（被积函数是奇函数）22224433222221111()32222xxxxEXxedxxdexexedx22221033()3.2xxedxEX3．设随机变量X的分布密度为02()240axxfxbxcx其它，已知3()2,(13)4EXPX，求：（1）常数A，B，C的值；（2）方差()DX；（3）随机变量XYe的期望与方差。856(1)()262(1)333353(13)(2)4224()12621(3)11(1)(3),,1.44EXabcPXabcfxdxabcabc解：联立解得5242220224220222222222211(2)()(2)()(2)(1)(2)4423111(3)()()(1)(1)4441()()(())()[(1)]41(1)4xxxxDXxfxdxxxdxxxdxEYefxdxxedxxedxeDYEYEYefxdxeee概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第四章随机变量的数字特征（三）一、选择题：1．对任意两个随机变量X和Y，若EYEXXYE)(，则[B]（A）()()()DXYDXDY（B）()()()DXYDXDY（C）XY与相互独立（D）XY与不相互独立2．由()()()DXYDXDY即可断定[A]（A）X与Y不相关（B）(,)()()XYFxyFxFy（C）X与Y相互独立（D）相关系数1XY二、填空题：1．设随机变量(,)XY服从正态分布(0,0,1,1,0)N，则(32)DXY=13。2．设X与Y独立，且6)(XD，3)(YD，则(2)DXY27三、计算题：61．已知二维随机变量),(YX的分布律如表：试验证X与Y不相关，但X与Y不独立。解：下证X与Y不相关，即()()()EXEYEXY()10.375010.3750,EX()0,()0EYEXY故X与Y不相关另外(1,1)0.125,(1)(1)0.375.PXYPXPY即(1,1)(1)(1)PXYPXPY则X与Y不独立。2．设()25,()36,0.4XYDXDY，求：(),()DXYDXY解：85)(YXD，37)(YXD3．设~(0,4),~(0,4)XNYU，且X，Y相互独立，求：(),(),(23)EXYDXYDXY解：0)(XYE,316)(YXD,28)32(YXD4．设X，Y相互独立，其密度函数分别为21()0Xxxfx0其它，(5)5()05yYeyfyy，求()EXY解：2(),()6,()()()43EXEYEXYEXEY5．（1）设随机变量2(3),()()0,()4,()16,0.5XYWaXYEXEYDXDY。求常数a使()EW为最小，并求()EW的最小值。（2）设随机变量(,)XY服从二维正态分布，且有22(),()XYDXDY。证明当222XYa时，随机变量WXaY与VXaY相互独立。XY10110.1250.1250.12500.12500.125101250.1250.1257解：（1）2222()[(3)]()6()9()EWEaXYaEXaEXYEY22()4,()16,()4EXEYEXY故22()4241444(3)108.EWaaa故当3a时()EW取最小值，min()108.EW（2）因为(,)XY是二维正态变量，而W与V分别是,XY的线性组合，故由n维正态随机变量的性质知(,)WV也是二维正态变量。现在222/XYa，故知有22(,)(,)0XYCovWVCovXaYXaYa即知W与V不相关，又因(,)WV是二维正态变量，故知W与V是相互独立的。概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第五章大数定律与中心极限定理一、选择题：1．设n是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的0均有lim{}nnPpn[A]（A）0（B）1（C）0（D）不存在2．设随机变量X，若2()1.1,()0.1EXDX，则一定有[B]（A）{11}0.9PX（B）{02}0.9PX（C）{|1|1}0.9PX（D）{|}1}0.1PX3．121000,,,XXX是同分布相互独立的随机变量，~(1,)iXBp，则下列不正确的是[D]（A）1000111000iiXp（B）1000110001000{}()()10001000iibpapPaXbpqpq（C）10001~(1000,)iiXBp（D）10001{}()()iiPaXbba二、填空题：81．对于随机变量X，仅知其1()3,()25EXDX，则可知{|3|3}PX224.2252．设随机变量X和Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0，则根据契比雪夫不等式6PXY1.12三、计算题：1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解：设第i件零件的重量为随机变量iX，根据题意得0.5,0.1.iEXDX5000500011()50000.52500,()50000.0150.iiiiEXDX5000500011250010(2510)()50501(2)10.92070.0793.iiiiXPXP2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解：（1）15001500111(0.5,0.5),()0,()1500125.2iiiiXUEXDX15001500111535(||15)()2[1()]2[1(1.3)]0.18.5125125iiiiXPXP（2）11||10(||10)()0.901212niniiiXPXPnn10()0.9512n.9根据的单调性得101.64512n，故21012()443.4.1.645n所以n最多为443个数相加.3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：（1）令1iX为第i个病人治愈成功，反之则0.iX令1001,(100,0.8),()80,()16.iiYXYBEYDY8075805(75)()()0.8944.41616YPYP（2）令1iX为第i个病人治愈成功，反之则0.iX令1001,(100,0.7),()70,()21.iiYXYBEYDY7075705(75)()1()0.