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53．判断下列函数是单值的还是多值的：（1）1zz+−；（2）11lnz+；（3）cosz；（4）lnsinz；（5）coszz；（6）sinzz。明显（1）~（4）都是多值函数。用w±表示z的两个平方根，即zw=或w−。取zw=，则coscoszwwz=，取zw=−，则()coscoscoswz−==−−，即coszz为多值函数，同样可得，sinzz为单值函数。54．找出下列函数的枝点，并讨论z绕各个枝点移动一周回到原处函数值的变化。若同时绕两个，三个枝点，又会出现怎样的情况？（1）31z−；（2）21zz+−；（3）zazb−−；（4）11lnz+；（5）coszz；（6）324z−；（7）()231zz+；（8）()2ln1z+。（1）()2233311iiwzzzezeππ−⎛⎞⎛⎞=−=−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，当z逆时针绕1点一圈（不包围23ieπ和23ieπ−）回到原处，因子1z−顺时针绕0点旋转π，另外两个因子23izeπ−和23izeπ−−不变，故w顺时针绕0点旋转π。当z逆时针绕23ieπ（或23ieπ−）点一圈（不包围另外两点）回到原处，w逆时针绕0点旋转π。所以1，23ieπ±为枝点。若z逆时针绕1和23ieπ两点一圈（不包围23ieπ−）回到原处，w不变，同样的，z逆时针绕任意两个枝点一圈（不包围另一个枝点）回到原处，w都不变。若z逆时针绕这三个枝点一圈回到原处，w顺时针绕0点旋转π，所以∞也是枝点。（2）枝点是1±；（3）枝点是a，b（z绕b逆时针一圈回到原处，因子1zb−顺时针绕0点旋转π）；（4）枝点是0，∞；（5）枝点是0，∞；（6）枝点是±2，∞；（7）枝点是0，-1；（8）枝点是±i，∞；55．函数1wzz=+−，规定()21w=，是分别求当z沿着图中的1C和2C连续变化时()3w−之值。若规定2z=处()arg12zπ−=，则有()21w=。z沿1C连续变化到-3时，()arg13zπ−=，所以()3233432iweiπ−=−+=−−。沿2C有()332wi−=−+。56．规定函数32wzz=−在下图割线上岸的幅角为0，试求该函数在割线下岸3z=处的数值，又问，这个函数有几个单值分枝：求出在其他分枝中割线下岸3z=处的函数值。2z−在割线上岸幅角为0，下岸为2π，所以()2333iweπ=。有三个单值分枝。规定割线上岸幅角为2π，则下岸为4π，()4333iweπ=，规定割线上岸幅角为4π，则下岸为6π，()33w=。57．函数()()wzazb=−−的割线有多少种可能的做法？试在两种不同做法下讨论单值分枝的规定。设,ab为实数，且ab≠。,ab为枝点，连接,ab的任意线段都可作为割线，所以有无穷种做法。其中两种做法：（1）规定割线上岸()()argargzazbπ−+−=和3π可得两个单枝分枝。（2）可规定正实轴割线上岸()()argargzazb−+−分别为0，2π。58．规定函数222wzz=−+，()02w=。求当z由原点出发沿圆()12zi−+=逆时针方向通过x轴时的函数值。又当z回到原点时函数之值如何？()()4422iiwzezeππ−=−−。只要规定0z=时()43arg24izeππ−=−，()43arg24izeππ−−=就有()02w=。当z沿圆逆时针到达2z=时，()4arg24izeππ−=−，()4arg24izeππ−−=，所以()442222iiweeππ−=⋅=。当z回到原点时，()45arg24izeππ−=，()43arg24izeππ−−=，所以()543402222iiiweeeπππ=⋅==−。59．函数()2ln1wz=−，规定()00w=，试讨论当z分别限制在以下两图中变化时，()3w之值。（a）()()ln11wzz=−+⎡⎤⎣⎦。规定0z=时()arg10z−=，()arg10z+=就有()00w=。z从下半平面到达3z=时有()arg1zπ−=，()arg10z+=，所以()()03ln243ln2iiweeiππ=⋅=+。（b）z从上半平面到达3z=时有()arg1zπ−=−，()arg10z+=，所以()()03ln243ln2iiweeiππ−=⋅=−。60．函数()341wzz=−在割线上岸函数值与下岸函数值有何不同？割线如下图。若割线上岸上一点z由左边（曲线1C）绕到割线下岸同一处（记为z′），则z的辐角增加2π，即2izzeπ′=，1z−的辐角不变，即()11zz′−=−。所以()()33224411iiwzzzezweππ′′′=−=−=。若z由右边（曲线2C）绕到割线下岸同一处，则z的辐角不变，1z−的辐角减小2π，()323241iiwzzeweππ−−′⎡⎤=−=⎣⎦。61．规定0arg2zπ≤，求wz=在zi=处的导数值。()12wzz′=，()()24111222iiweeiππ−′==−。62．规定0z=处arctanzπ=，求在2z=处的导数值。割线做法如图。1arctanln2izzizi−=+，()21arctan1zz′=+，()21arctan5zz=′=。虽然导函数()fz′是单值函数，但它是在()fz的单值分枝中定义的，否则极限值()()000limzzfzfzzz→−−不定。63．证明：若函数()fz在区域G内解析，其模为一常数，则函数()fz本身也必为一常数。证：令()(),cossinixyfzAeAiAϕϕϕ==+，其中(),xyϕ为实函数。由于()fz解析，C-R方程为：sincosAAxyϕϕϕϕ∂∂−=∂∂，sincosAAyxϕϕϕϕ∂∂=∂∂。可由此解出0xϕ∂=∂，0yϕ∂=∂，即(),xyϕ为常数，所以()fz为常数。64．()()112ppzzfzz−−=，12p−。在实轴上沿0到1做割线，规定沿割线上岸()argarg10zz=−=，试计算()fi±。zi=时，arg2zπ=，()arg14zπ−=−，()()()121243124222ppiipipeefieiπππ−−−==。z从左边由割线上岸绕到zi=−，则3arg2zπ=，()arg14zπ−=，()51242pipfieπ−−−=。z从右边由割线上岸绕到zi=−，则arg2zπ=−，()7arg14zπ−=−，()51242pipfieπ−−−=。