第二章-单自由度系统

自由振动微分方程0mxcxkx20nxx/nkradsm2nfHzsinnxAt22200nxAx00arctannxx单自由系统的振动分析无阻尼自由振动方程：方程解：固有圆频率：固有频率：MCK0例：求倒摆的振动微分方程和固有频率22sintansin32MLLmLMgKaamgL22203MKamLgMmL222/3nMKamLgradsMmLmgMg系统运动方程：化简上式，得振动微分方程：固有频率：弹簧等效并联kKeq2串联Ox2/kKeq以静平衡位置为原点，列运动微分方程：单自由度有阻尼自由振动220nnxxxmgxcxkxmmkn固有圆频率mkc2阻尼比0kxxcxm单自由度有阻尼自由振动txBe2220nn22221,224412nnnn运动方程的解常系数线性齐次微分方程通解特征方程解得其特征根为220nnxxx单自由度有阻尼自由振动121n当时，12ntxBBte解的讨论：121当时，、都是负实数2212111212nnttttxBeBeBeBe21,21n不属于振动不属于振动单自由度有阻尼自由振动1当时222211121112nnnnnjtjtjtjttxBeBeeBeBecossinjtetjtcossinjtetjt21dn有阻尼固有圆频率21,21nj)sin(tAexdtn12BB与共轭1212cossinntddxeBBtjBBt单自由度有阻尼自由振动cossinjtetjt100tgx100tgx)sin(tAexdtn单自由度有阻尼自由振动对数衰减率it3itT33sinsinninitiditTiTdixAetxAet33nTiiTxex3ln3iniTxTxit3itTlniniTxTx对数衰减率单自由度有阻尼自由振动利用对数衰减率求阻尼比it3itT2122dnnTlniniTxTx224简谐激励下的强迫振动sinmxcxkxFt()()()hsxtxtxt振动微分方程F：激振力幅值ω：激振力频率通解＝齐次方程通解＋非齐次方程特解单自由度系统简谐激励下的强迫振动振动微分方程齐次方程通解A：振幅：阻尼比：有阻尼固有圆频率：相位角sinmxcxkxFt()sin()nthdxtAet21dn简谐激励下的强迫振动振动微分方程用复指数法求特解sinmxcxkxFt()sxtcossinjtetjtjtFtFe设激振力假定方程的特解为()jtsxtXe简谐激励下的强迫振动假定方程的特解为式中为复振幅。代入振动微分方程有X2()jtjtmjckXeFe2jFXXekmjc式中X为振幅，是复振幅的模，即2222()FXXkmcX()jtsxtXe从而得到为相角，是复振幅的幅角，有X12tancarctgXkm简谐激励下的强迫振动方程的通解为2222()()()sin()sin()()nhstdxtxtxtFAettkmc由初始条件可以确定待定参数A和000,0xxxx()jtjtsxtXeXe因此，方程的特解简谐激励下的强迫振动随着时间的增加，xh(t)将趋于消失，所以将有式中，等效静位移频率比振幅放大因子2222()()sin()()sFxtxttkmc22222222220222()(1)(1)(2)nFFXkmckckX0XFk22201(1)(2)XMX/n简谐激励下的强迫振动22201(1)(2)XMX/n等效静位移0XFk简谐激励下的强迫振动*2*max20121121dMdMM共振条件旋转不平衡质量引起的强迫振动222222222()(1)(2)memeMXkMc单自由系统emtoMmxo2222()(sin)dxdMmmxetcxkxdtdt系统的振动微分方程2sinMxcxkxmet()sin()xtXt方程稳态响应可表示为：对比参考力载荷强迫振动2222()FXkmc2me系统的振动放大因子为：2222(1)(2)MXme*2*2max01112121dXMdmeXMMme222222222()(1)(2)memeMXkMc基础运动引起的强迫振动单自由系统()()mxkxycxy系统的振动微分方程为mxcxkxcyky()jtxtXe用复指数法求解，用yejωt代换ysinωt，设2jkjcXYXekmjc代入上述方程得基础运动引起的强迫振动式中X为振幅，为响应与激励之间的相位差32222tan1422221(2)(1)(2)XY2jkjcXYXekmjc()sin()xtXt稳态响应为（虚部）22221(2)(1)(2)XY振动放大因子基础运动引起的强迫振动X/Y和以为参数，随变化的曲线如下图所示当和时，，与无关；021XY当时，有减振效果，但阻尼小位移响应反而大。2XY22221(2)(1)(2)XY当时，振动被放大，阻尼大时共振小。2XY隔振隔振积极隔振：把振源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的隔振措施。消极隔振：为了减少外界振动对设备的影响而采取的隔振措施。积极隔振经隔振装置传递到地基的力有两部分：弹簧传给地基的力阻尼传给地基的力sin()sFkxkXtcos()dFcxcXt和频率相同相位差sFdF2222()()1(2)TFkXcXkX传给地基的力的最大值由于在作用下，系统稳态响应的振幅为则sinFt222(1)(2)FXk222221(2)1(2)(1)(2)TFFkX22221(2)(1)(2)TFFTF评价积极隔振效果的指标是力的传递系数积极隔振隔振后系统稳态响应的振幅为评价消极隔振效果的指标为22221(2)(1)(2)XY22221(2)(1)(2)DXTY位移传递系数消极隔振位移传递系数和力传递系数的表达式是完全相同的。令，叫做传递系数，随和的变化曲线如下图。DTFTFDRTTTRT22221(2)(1)(2)RT传递系数1）无论阻尼比为多少，只有在时才有隔振效果；22）对于某个给定的值，当阻尼比减小时，传递系数也减小。2两点主要结论：消极隔振与积极隔振非简谐激励作用下的系统响应各种非简谐激励（一）周期激励作用下的强迫振动任意周期激励F(t)总可以展开为傅里叶级数（三角级数）01a(t)=cossin2nnnFantbnt()mxcxkxFt()()FtTFt0002()tTtaFtdtT002()costTntaFtntdtT002()sintTntbFtntdtT其中：n=1,2,…t0可以任意选取ω=2π/T为周期激励的基频（一）周期激励作用下的强迫振动对于线性系统，应用叠加原理，各激励力共同作用所引起的系统稳态响应等于各激励力单独作用时引起的系统各稳态响应的和。于是，稳态响应为：022221cossin()212nnnnnantbntaxtkknn1221nntgn为相角01a(t)=cossin2nnnFantbnt1.由频率为与的两个简谐运动所组成的运动是周期为的非简谐周期运动。2.频率为、、、…的运动响应为高次谐波，频率为的项为基波。（一）周期激励作用下的强迫振动2342总结与说明222022221cossin()212nnnnnantbntaxtkknnω=2π/T为周期激励的基频（二）任意激励作用下的振动响应非简谐非周期任意激励举例（二）任意激励作用下的振动响应t冲击激励下振动系统的响应很短。过后，物体来不及发生位移，但获得了初速度。由冲量定理，有：dd()0Fdmxm系统在时刻突然受到冲击，脉冲冲量为。Fdt解得：()()Fxdm（二）任意激励作用下的振动响应()0x()()Fxdm000sincosntndddxxxetxt有阻尼系统自由振动解0()sinntddxFetdmtt（二）任意激励作用下的振动响应()0x()()Fxdm有阻尼系统自由振动解tt0()sinntddxFetdm（二）任意激励作用下的振动响应0(0)xx任意激励下振动系统的响应原理：把任意激励分解为许多脉冲。线性系统满足叠加原理，可积分得到系统对任意激振力的响应。0(0)xx()00001()cossin()sin()nntttndddddxxxtexttFetdm自由衰减振动Duhamel积分tt0()sinntddxFetdm（二）任意激励作用下的振动响应例初始时系统静止求：无阻尼系统对如左图激励的响应00000sin()cos()1costnntnnFxtdmFtkFtk解：F(t)()00001()cossin()sin()nntttndddddxxxtexttFetdm（二）任意激励作用下的振动响应例01cos0nFxttk在阶跃载荷作用下，无阻尼系统响应的第一项为静变形，第二项为简谐振动。（二）任意激励作用下的振动响应10tt当时，系统响应与上例相同；例求：无阻尼系统对如左图激励的响应解：1tt当时，1100011sin0sincoscosttnntnnnnFxtdtdmmFtttk分段法：（二）任意激励作用下的振动响应010111cos0coscosnnnFtttkxFtttttk01cos0nFxttk