圆的相关定理及其几何证明(含答案)

DBCOA圆的相关定理及其几何证明典题探究例1：如图，圆O是ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D.若3CD，2ABAC，则线段AD的长是；圆O的半径是.例2：如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），,垂足为F．若，，则例3：如图已知PA与圆O相切于A，半径OCOP，AC交PO于B，若1OC,2OP，则PA，PB．例4：如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知30BPA，11BC，1PB,则PA,圆O的半径等于EFBC^6AB=5CFCB?AE=ABCOPOPCBAOPDFE演练方阵A档（巩固专练）1．如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E,F.若23,1PFPD，则⊙O的半径为；EFD.2.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点.若，，则弦的长为_______.3.如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA＝AC＝12AB，则以下结论不正确．．．的是()A.CBCPB.PCACPABCC.PC是圆O的切线D.BCBABP4．如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC切圆O于点C，CDOP于D．若6CD，10CP，则圆O的半径长为______；BP______．5．如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E.则BCBE.APOADBPBOAPC90ACB3,4BCCPDBDCBPAOEDCBAO6．如图，直线AM与圆相切于点M,ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、EC。则下面结论中，错误．．的结论是()A．∠ECA=90oB．∠CEM=∠DMA+∠DBAC．AM2=AD·AED．AD·DE=AB·BC7．如图，AB切圆于点A,AC为圆的直径，BC交圆于点D，E为CD的中点，且5,6,BDAC则CD__________；AE__________.8．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，4,8PCPB，则tanCOP，△OBC的面积是9．如图，AB为⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且过点C的割线,CMN交AB的延长线于点D,若CMMNND,22AC，则CM，ADOOOABCDMNO10．如图，,,,ABCD是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E.若110BCD，则DBE()A.75B.70C.60D.55B档（提升精练）1．如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______2．如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点EF,是AB延长线上一点,且BFAFCFDF2,2,若CE与圆相切,且27CE,则BE3．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD．若4PC，2PB，则CD______.EODCBAEBAFDCBCDAOE4．如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，且与AB延长线交于点C，若CD3，1CB，则ADE=5．如图，AC为⊙O的直径，OBAC，弦BN交AC于点M．若3OC，1OM，则MN_______6．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于,BC两点，3,1PAPB，则ABC=()A70B60C45D307．如图所示，Rt△ABC内接于圆，60ABC，PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于E，交圆于D．若PA=AE，PD=3，BD=33，则AP=，AC=ABCOMN8.如图，以ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EFAB^于点F，3AFBF=，22BEEC==，那么CDEÐ=，CD=.9．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，CE与圆相切交AB延长线上于点E，若22DFCF，::4:2:1AFFBBE，则线段CE的长为10.如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则C档（跨越导练）1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PAPE，60ABC，1PD，9PB，则PA_____；EC_____PCOCPABOCDABE4PC8PBCEEDPCBAFEDCBABAEDFC2.如图，O的直径AB与弦CD交于点P，7,5,15CPPDAP===，则DCBÐ＝______3.如图，AB是圆O的直径，CDAB于D，且2ADBD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F．若2CD，则AB_______，EF_________4.如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______5.AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=22，2BC，则DCAsinOPDCBACFBAEDOPDCBACOPBAOADBC6.如图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为7.如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，则ABP=；PBPC8.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知22PA，4PC，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为_____9.如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C.已知圆O半径为3，2OP，则PC______；ACD的大小为______O3OAADABCOAC223ABADBOCADPABCO•10.如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O的交点.若70BAC，则CBE______；若2BE，4CE，则CD.典题探究例1：答案：1，2解析：已知CD3，2ABAC，由圆幂定理得2CDDADB，OABPDC•ACBODEDBDAAB，所以2CD()DADAAB，可以求出1AD，而CDAD，取AB的中点E，连接OC和OE，则半径R=OC=2.例2：答案：1解析：三角形CEF与三角形CBE相似，对应边成比例，所以CFCECECB，即2CECBCF，所以5CE，而1OC=32AB，所以22O2EOCOE，所以1AE.例3：答案：3,3PAPB解析：延长PO与圆O分别交于点D和点E，则1PDOPOD，3PEPDDE，由圆幂定理得23PAPDPE，所以3PA，过A点作AFOP交OP于点F，则1OF=2，所以313PB=+=3222+3.例4：答案：PA=23R=7，解析：由圆幂定理得2PA=PBPC=12，所以PA=23，设AO与PC交于点D，延长AO交圆于E，则ADDE=BDDC，所以2DE=24，DE=12，所以2R=2+12，R=7.演练方阵A档（巩固专练）1：答案：R=3EFD=15。，解析：由圆幂定理得2PD=PEPF，1=PE2+3（），1PE==2-32+3，所以EF=2R=PF-PE=23，R=3，OP=2PD=OD=3，1，，所以POD=30，所以1EFD=POD=152。2：答案：45解析:由圆幂定理得2AP=PBPD=PB(PB+BD)，所以275(5)BD，所以245BD3：答案：D解析:由圆幂定理得22()(2)3PCPAPAABPAPAPAPA，所以3PCPA，所以D选项错误4：答案：半径7.5,5RBP解析:6,10,CDCP.所以228DPCPCD，由三角形相似得CDOCDPCP，所以6810OC，所以3107.54ROC，由圆幂定理得2PCBPAP，所以100(15)BPBP，所以5BP5：答案：12解析：连接CD，AC是圆O的直径，所以CDAB，BC经过半径OC的端点C，而且BCAC，所以BC是圆O的切线，而DE是圆O的切线，所以EC=ED，所以12BECEBC，所以12BEBC6：答案：D解析：因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以180BDEBCE。，因为=90BDE。，所以C=90BE。，A正确；直线AM与圆相切，由弦切角定理得AMD=MED，而ABD=CED，所以CEM=MED+CED=DMA+DBA，所以B正确；由圆幂定理得2AMADAE，所以选项C正确7：答案：4,26CDAE解析：设CDx，则根据圆幂定理得2ABBDBC，而22(5)36ABCD，所以2(5)365(5)CDCD，所以25360CDCD，所以4CD，而222AEACCDDE，所以26AE（8：答案：418tan,35OBCCOPS解析：由圆幂定理得2PCPAPB，所以168PA，所以2PA，所以半径3,R3,OC5OP，所以正切值4tan3COP，所以三角形OBC的面积118sin25OBCSOBOCCOP9：答案：CM=2AD=27，解析：由圆幂定理得2AC=CMCN=CM2CM，所以28=2CM，所以CM=2，而22AD=CD-AC=36-8=2710：答案：B解析:因为ABCD四点共圆，所以A+BCD=180。，而BCD=110。，所以A=70。，又因为BE与圆相切于点B，所以DBE=A=70。，所以选项B是正确的。B档（提升精练）1：答案：CD=2解析：延长CD交圆于点E，由相交弦定理得ADDB=CDDE，所以43=CD(8-CD)，求出CD=26或，因为CD是小于4的，所以CD=22：答案：1BE=2解析:由相交弦定理得BFAF=DFFC，所以22BF=2，所以BF=1，所以AF=2，而2CE=BEEA，所以7=BE(3)4BE，所以1BE=23：答案：12CD=5解析：设半径为R，连接OC，则由圆幂定理得2PC=PBPA，已知PC=4,PB=2，而且OCPD，所以24=2(2+2R)，所以R=3，而PCPOCDOA，所以453CD，125CD4：答案：60ADE。解析:CD=3CB=1，，由圆幂定理得2CD=CBCA，而AC=3，AB=2，所以OC=2，连接OD，则ODCD，在RtODC中，OD=1，CO=2，CD=3，所以60DOC。，而在三角形BOD中，已知OB=OD，所以有BD60O。，ADE=ABD=60。5：答案：MN=1解析：延长BO交圆于点D，连接DN，则BND=90。，而BD=23，2BM，由圆幂定理可得MCMAMBMN，所以(31)(31)2MN，所以1MN6：答案：B解析：由圆幂定理可得2PAPCPB，所以3PC，2,1BCR，连接OA，所以三角形OPA是直角三角形，B是OP中点，所以ABOBOA，60ABC。7：答案：P23,AC=33A解析：由圆幂定理可得2PPBPDA，所以2P3(333)12A，P=23A，所以P=43B，所48436AB，3sin60=6=332ACAB。8．答案：313DE60CD=13C。，解析：设圆心是O，半径为R，连接OE与AE，所以AF+FB=2R，所以1FB=R2，又因为EFAB，OE=EB，所以OEB是等边三角形，ABE=60。，CDE=ABE=60。，所以AE=BEtan60=23。，所以22AC=AE-CE=13，由圆幂定理得CDCA=CECB，所以313CD=139．答案：CE=7解析：由圆幂定理得22CE=EBEA=7EB，而DFFC=FBFA，所以28=8EB，所以EB=1，所以2CE=7，CE=710．答案：12CE=5解析