1单自由度系统的自由振动

第1章单自由度系统的自由振动主讲贾启芬机械与结构振动MechanicalandStructuralVibration引言振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运动。MechanicalandStructuralVibration机械与结构振动振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；分析运动；分析受力；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。引言MechanicalandStructuralVibration机械与结构振动振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的－动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗贝尔原理。分析动力学基础中的－拉格朗日方程。引言MechanicalandStructuralVibration机械与结构振动振动概述所考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。振动问题的共同特点MechanicalandStructuralVibration机械与结构振动按系统的自由度划分：振动问题的分类单自由度振动－一个自由度系统的振动。多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。振动概述机械与结构振动MechanicalandStructuralVibration按系统特性或运动微分方程类型划分：振动问题的分类线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。)sin(0eqeqtFkm＝0kyym非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。机械与结构振动MechanicalandStructuralVibration线性振动：相应的系统称为线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。非线性振动：相应的系统称为非线性系统。非线性振动的叠加原理不成立。机械与结构振动MechanicalandStructuralVibration按激励特性划分：振动问题的分类自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。振动概述机械与结构振动MechanicalandStructuralVibration第1章单自由度系统的自由振动目录MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动1.2计算固有频率的能量法1.3瑞利法1.4有阻尼系统的衰减振动1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration第1章单自由度系统的自由振动关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统MechanicalandStructuralVibration第1章单自由度系统的自由振动1.1.1自由振动方程1.1.2振幅、初相位和频率1.1.3等效刚度系数1.1.4扭转振动MechanicalandStructuralVibration第1章单自由度系统的自由振动1.1.1自由振动方程)(ddst22xkmgtxm当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为0dd222xptxn其中mkpn取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg无阻尼自由振动微分方程弹簧的静变形固有圆频率MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动其通解为：tpCtpCxnnsincos2101xCtppvtpxxnnnsincos00npvC02其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解00vvxx，1.1.1自由振动方程MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动)sin(tpAxn)(arctg)(002020vxppvxAnn两种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动初相位角振幅1.1.1自由振动方程MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动1.1.2振幅、初相位和频率系统振动的周期kmpTnπ2π2系统振动的频率mkpTfnπ2π21系统振动的圆频率为fpnπ2圆频率pn是物块在自由振动中每2秒内振动的次数。f、pn只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量m有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率f称为固有频率，圆频率pn称为固有圆频率。MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式物块静平衡位置时stkmgmkpn固有圆频率stgpnstmgk1.1.2振幅、初相位和频率MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动1.1.3等效刚度系数单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程0ddeq22eq＝qktqm等效的概念这一方程，可以等效为广义坐标的形式0dd22＝kxtxm加的力或力矩。需要在这一坐标方向施位移，广义坐标方向产生单位－等效刚度：使系统在eqk向施加的力或力矩。度，需要在这一坐标方加速广义坐标方向产生单位－等效质量：使系统在eqmMechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动0ddeq22eq＝qktqm0dd22＝qptqntpCtpCqnncoscos21＝tpAqnsin＝－初始速度。－初始广义坐标；－振动的位相；振动的振幅；－系统的固有频率；＝0000n2020eqeqarctanvqqqppvqAmkpnn等效的概念1.1.3等效刚度系数MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动串联弹簧与并联弹簧的等效刚度例在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是st，而弹性力分别是st11kFst22kF系统平衡方程是0xFst2121)(kkFFmg1.1.3等效刚度系数MechanicalandStructuralVibration1.1无阻尼系统的自由振动如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则stkmg21kkkst2121)(kkFFmgk称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率mkkmkf21π21π211.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即st=1st+2st由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为1st1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkkkkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(π21π212121kkmkkmkf1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration组合弹簧的等效刚度例质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。C1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。C设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，作用在B处的力为bFa此力使B弹簧k2产生变形，222bkFabac而此变形使C点发生的变形为得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数222abkFkc1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibrationC222abkFkc物块的自由振动频率为)(221221kbkamkkbmkpn与弹簧k1串联221222122212221kbkabkkabkkabkkk得系统的等效刚度系数1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration弹性梁的等效刚度例一个质量为m的物块从h的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。stπ21gf1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧—质量系统。如果知道系统的静变形则求出系统的固有频率stMechanicalandStructuralVibration由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为348π21mlEIf中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为348lEIk1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibration以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有st0xghv20自由振动的振幅为st2st20202)(hpvxAn)9611(48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大挠度1.1.3等效刚度系数1.1无阻尼系统的自由振动MechanicalandStructuralVibrationTheoreticalMechanics返回首页mKKK321)()(321321KKKmKKK)()(321231KKKmKKK)()(321132KKKmKKK己知图中所示的三根弹簧的刚性系数分别为K1，K2，K3，振体的质量为m，则此系统沿铅垂方向振动的固有圆频率为。（A）（B）（C）（D）答案：[A]习题TheoreticalMechanics答案：[A]点评：由图知三根弹簧为并联关系。因此，可计算出三根并联弹簧的等效刚性系数为K=K1+K2+K3。由弹簧-质量系统计算固有圆频率的公式，计算出系统沿铅垂方向振