数列的单调性

1数列的单调性一【问题背景】数列是函数概念的继续和延伸，它是定义在自然数集或它的子集上的函数，其图象是坐标系内一群孤立的点．单调性是研究函数的重要抓手，同样的，通过研究数列的单调性也是我们解决数列问题的重要工具，其作用主要体现在求数列最值、恒成立等问题上．二、【数列的单调性】数列是一种离散型的函数，它的单调性定义与函数的单调性定义既有联系又有区别．在数列{}na中，若对任意的nN，都有1nnaa，则数列{}na为单调递增数列；若对任意的nN，都有1nnaa，则数列{}na为单调递减数列．特别的，若等差数列{}na为递增数列，则公差0d；若等差数列{}na为递减数列，则公差0d．若正项等比数列{}na为递增数列，则公比1q；若正项等比数列{}na为递减数列，则公比01q．三、【范例】例1数列na的通项公式na=nn2Nn，若数列na为递增数列，则的取值范围是．解：数列为递增数列Nnaann1恒成立，即)1(122nnnn化简得12n恒成立，即max12）（n，因为12-n为单调递减数列，当1n时，取得最大值-3所以3．变式通项公式为2naann的数列na，若满足12345aaaaa，且1nnaa对8n恒成立，则实数a的取值范围是．解：221(1)(1)()(21)1nnaaannannna，12345aaaaa当14n时，1nnaa恒成立，所以当14n时，恒有(21)10na，121an，max11()219an．2又当8n时，1nnaa恒成立，121an，min11()2117an．所以11917a．例2设等比数列na的前n项和为nS，且12nna，数列{}nb的通项公式为2(1)nbnn．设1nnncSnb，若数列nc是单调递减数列，求实数的取值范围．解：1(12)2112nnnS，所以22()1nncn，要使数列nc是单调递减数列，则1422()021nnnccnn对nN恒成立，即4221nn恒成立，所以max42()21nn，令4221ndnn，则12(1)(1)(2)(3)nnnddnnn，所以1234dddd，因此当1n或2时，,31)1224(maxnn所以13．例3已知na，nb，nc都是各项不为零的数列，且满足11acdk（k为常数，kN），1122nnnnabababcSL（nN），其中nS是数列na的前n项和，nc是公差为(0)dd的等差数列．若nnkbc(2,)nnN≥，求证：对任意的2,nnN≥，数列{}nnba单调递减．解：因为1122nnnnabababcS，当2n≥时，11112211nnnnScababab，两式相减得11nnnnnnScScab，即111()nnnnnnnSacScab，11()nnnnnnnSccacab，即1()nnnnSdabc，因为nnkbc，所以nnbckd，即nnbckd，所以1nnSdakd，即1nnSka，3所以1(1)nnnnSSaka，当3n≥时，11(1)nnSka，两式相减得1(1)(1)nnnakaka，即11nnkaak，故从第二项起数列na是等比数列，所以当2n≥时，221()nnkaak，221(1)(1)()nnknbcckdcnkkknkkknk，另外由已知条件得1221122()aacabab，又22ck，1bk，2(2)bkk，所以21a，因而21()nnkak，令ndnnba，则111nnnnnndbadab(1)()(1)nkknkk，因为(1)()(1)0nkknkkn，所以11nndd，所以对任意的2,nnN≥，数列{}nnba单调递减．例4已知数列{}na的通项公式12,21,23,2nnnnkakNnk，前n项和为nS，是否存在正整数m，使得221mmSS恰好为数列{}na中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．解：对于kN，有22(121)2(13)13213kkkkkSk，21212122132313kkkkkkSSakk，假设存在正整数m，使得221mmSS恰好为数列{}na中的一项，又由（1）知数列{}na中的每一项都为正整数，故可设221()mmSllNS，则2211313mmmlm,变形得12(3)3(1)(1)mllm，∵11,1,30mml，∴3l，又lN，故l可能取1,2,3，4当1l时，12(3)30,(1)(1)0mllm，∴12(3)3(1)(1)mllm不成立，当2l时，12(32)3(21)(1)mm，即1231mm，若1m，1231mm，令2113mmmT，(,2)mNm，则222211172()(1)11223223333mmmmmmmmmmmTT222222303，因此231TT，故只有21T，此时2m，22la；当3l时，12(33)3(31)(1)mm，∴1m，33la．综上，存在正整数1，使得21SS恰好为数列{}na中的第三项；存在正整数2，使得43SS恰好为数列{}na中的第二项．四、【练习】1．已知数列}{na的通项公式为1nan，若对于一切1n的自然数，不等式32)1(log121...221aaaaannn恒成立,则实数a的取值范围为________．解：122111122nnnaaannn令122nnnnbaaa，∴12322nnnnbaaa∴1222111111222112(21)(1)nnnnnbbaaannnnn∴1,nnN，10nnbb恒成立；∴数列nb对2n，nN上单调递增．∴min234117()3412nbbaa；∴由题意可知min12log(1)()123anab∴log(1)1aa又1a；∴101aa；∴1512a．2．已知数列nd的通项公式为：6(3)(12),14(2)3,2nnttndntn，设数列nd满足nnndab,且nd中不存在这样的项kd,使得“1kkdd与1kkdd”同时成立（其中2k,Nk）,试求实数k的取值范围．5解：当2n时,114(12)34(2)3nnnnddntnt38[(2)]32nnt,所以①若3222t,即74t,则1nndd,所以当2n时,nd是递增数列,故由题意得12dd,即6(3)(12)36(22)ttt,解得5975977444t；②若32232t,即7944t,则当3n时,nd是递增数列,,故由题意得23dd,即234(22)34(23)3tt,解得74t③若321(,3)2mtmmNm,即35(,3)2424mmtmNm,则当2nm时,nd是递减数列,当1nm时,nd是递增数列,则由题意,得1mmdd,即14(2)34(21)3mmtmtm,解得234mt综上所述取值范围是59759744t或234mt(,2)mNm3．数列na满足,2,021aa,,3,2,1,2sin4)2cos1(222nnanann设1231kkaaaS，kkaaaT242，)(22NkTSWkkk，求使1kW的所有k的值，并说明理由解：当)(12*Nkkn时，4212sin4)212cos1(12212212kkkakaka，∴12ka是以0为首项，4为公差的等差数列，则)1(412kak，当)(2*Nkkn时，kkkakaka222222222sin4)22cos1(，∴ka2是以2为首项，2为公比的等比数列，则kka22，∴na的通项公式为)(2,2)(12),1(2*2*NkknNkknnann．所以)1(2)1(4401231kkkaaaSkk，2222212242kkkkaaaT，6∴112)1(2)1(422kkkkkkkkkTSW，于是1615,45,23,23,1,0654321．下面证明：当6k时，1kW．事实上，当6k时，kkkkkWW2)1(102)3(2)1(1kkkkkk，即kkWW1，又16W，∴当6k时，1kW．故满足1kW的k的值为5,4,3．