人教版-高中数学选修4-5-柯西不等式

123123(),,,,,,,,,,nnaaaabbbb定理一般形式的柯西不等式设是实数则222112222122221)())((bnnnbabababbbaaa0(1,2,,),(1,2,,),iiibinkakbin当且仅当或存在一个数使得时等号成立一、二维形式的柯西不等式.,,,,,)(1等号成立时当且仅当则实数都是若二维形式的柯西不等式定理bcaddcbabdacdcba2222)1(bdacdcba2222)2(二维形式的柯西不等式的变式:22222)())((bdacdcba22122122222121)()(yyxxyxyx二维形式的三角不等式221221221222222212121)()()(zzyyxxzyxzyx三维形式的三角不等式22222112222122221)()()(nnnnyxyxyxyyyxxx一般形式的三角不等式的最小值求已知例222,1323zyxzyx141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx已知a2＋2b2＝6，则a＋b的取值范围是____________．【解析】∵(a2＋2b2)[12＋(12)2]≥(1·a＋2b·12)2＝(a＋b)2∴(a＋b)2≤6×32＝9，∴－3≤a＋b≤3，故a＋b的取值范围是[－3,3]【名师点睛】解此题关键在于构造因式，使其符合柯西不等式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．变式引申:.,94,13222并求最小值点的最小值求若yxyx)61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最小值点为的最小值为得由时取等号即当且仅当由柯西不等式解yxyxyxyxyxyxyxyxyx补充练习2536.3625.56.65A.)(32,1.222DCByxyx的最小值是那么已知______1212.3的最大值为函数xxy______2,623,.422值是的最大则满足设实数yxPyxyxB3112332244)())((,,1babababa证明为实数已知例251102yxx例求函数的最大值3．函数y＝3sinx＋41＋cos2x的最大值为____________．2222122121)(1,,,,1nnnaaaaaanaaa求证都是实数已知例22122221222)111())(111(:nnaaaaaa证明22122221)()(nnaaaaaan22221221)(1nnaaaaaandacdbcabdcbadcba2222,,,,2证明是不全相等的正数已知例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca2222222222222222222a)()(,,,,)())((:即不成立是不全相等的正数证明1111x1x:1,xx,Rx,x,6.412222121n21n21nxxxxxxPnn求证且设1)()1x11111()x1x11()11x(1)111()1(:2212n222111n2n222121212222121nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明1111x1x2222121nxxxxnn1．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。2．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求的最大值。3．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。cba23达标检测