中考数学专题讲座-第三讲-动态几何

-1-中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分真题精讲【例1】（2010，密云）如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．DNCMBA（1）当MNAB∥时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。-2-【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DEAB∥交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．ABMCNED∵ABDE∥，ABMN∥．∴DEMN∥．（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）∴MCNCECCD．（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）∴1021035tt．解得5017t．【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：①当MNNC时，如图②作NFBC交BC于F，则有2MCFC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）∵4sin5DFCCD，∴3cos5C，∴310225tt，解得258t．-3-ABMCNFD②当MNMC时，如图③，过M作MHCD于H．则2CNCH，∴321025tt．∴6017t．ABMCNHD③当MCCN时，则102tt．103t．综上所述，当258t、6017或103时，MNC△为等腰三角形．【例2】（2010，崇文）在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，3BC，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）-4-【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90º，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD．【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，①点D在线段BC上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，∴CPCDDQAQ，∴44CPxx，24xCPx．②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过A作ACAG交CB延长线于点G，则ACFAGD．CF⊥BD，GABCDEF-5-△AQD∽△DCP，∴CPCDDQAQ，∴44CPxx，24xCPx．【例3】（2010，怀柔）已知如图，在梯形ABCD中，24ADBCADBC∥，，，点M是AD的中点，MBC△是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且60MPQ∠保持不变．设PCxMQy，，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中，当y取最小值时，判断PQC△的形状，并说明理由．【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：∵MBC△是等边三角形∴60MBMCMBCMCB，∠∠∵M是AD中点∴AMMD∵ADBC∥∴60AMBMBC∠∠，ADCBPMQ60°-6-60DMCMCB∠∠∴AMBDMC△≌△∴ABDC∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）解：在等边MBC△中，4MBMCBC，60MBCMCB∠∠，60MPQ∠∴120BMPBPMBPMQPC∠∠∠∠(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)∴BMPQPC∠∠∴BMPCQP△∽△∴PCCQBMBP∵PCxMQy，∴44BPxQCy，∴444xyx∴2144yxx(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解：PQC△为直角三角形∵21234yx∴当y取最小值时，2xPC∴P是BC的中点，MPBC，而60MPQ∠，∴30CPQ∠，∴90PQC∠以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路-7-是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】2010，门头沟已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EGCG，．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EGCG，，．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）图3图2图1FEABCDABCDEFGGFEDCBA【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1）CGEG（2）（1）中结论没有发生变化，即CGEG．证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点．在DAG与DCG中，∵ADCDADGCDGDGDG，，，∴DAGDCG≌．∴AGCG．在DMG与FNG中，-8-∵DGMFGNFGDGMDGNFG，，，∴DMGFNG≌．∴MGNG在矩形AENM中，AMEN在RtAMG与RtENG中，∵AMENMGNG，，∴AMGENG≌．∴AGEG．∴EGCGMN图2ABCDEFG【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。（3）（1）中的结论仍然成立．G图3FEABCD【例5】（2010，朝阳）已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，-9-将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．（1）当CEBE=1时，CF=______cm，（2）当CEBE=2时，求sin∠DAB′的值；（3）当CEBE=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】（1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY）（2）①如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴FCABCEBE．∵CEBE=2，∴CF=3．∵AB∥CF，∴∠BAE=∠F．又∠BAE=∠B′AE，∴∠B