3.10-均匀柱面波(2学时)

3-10柱面波柱面波，波阵面为一系列同轴心的圆柱面。拉普拉斯算符在柱坐标系中为：2222221)(1zrrrrr所以，波动方程在柱坐标中表示为：011)(122222222tczrrrrr3-8-1谐和律振动且幅值均匀的柱面波所以，波动方程化为：),(),,,(trtzr0),(1)),((12220ttrcrtrrrr因为是幅值均匀的柱面波，所以，取柱坐标的z轴与柱面波轴心重合，有：tertrj)(),(令，则，0)())((12rkdrrdrdrdr0ck；0)()(1)(222rkdrrdrdrrd这不是常系数的二阶常微分方程。此方程称作‘零阶贝塞尔方程’。其解为‘零阶柱函数’。)()()(00krNBkrJAr为零阶贝塞尔函数；为零阶纽曼函数；)(0J)(0N它们是零阶贝塞尔方程的两个线性无关的实函数解,是特殊函数。零阶贝赛尔函数和零阶纽曼函数的函数曲线如下图，（同图给出幅度变化的正余弦函数曲线以便比较）用零阶贝塞尔函数和零阶纽曼函数构成两个复函数：)(j)()(00)1(0zNzJzH)(j)()(00)2(0zNzJzH零阶第一类汗克尔函数零阶第二类汗克尔函数和是零阶贝塞尔方程的两个线性无关复函数解。)()1(0zH)()2(0zH用比较的办法分析，分别是和)();()2(0)1(0krHkrH)(0krJ)()1(0krH)()2(0krHtertrj)(),()(r时波场的性质：分别为柱面驻波场其中，向柱轴心传播的波为收敛波；向柱轴心外传播的波为扩张波。)(0krN)()1(0krH)()2(0krHtej如果声场函数为)();(00krNkrJ可知：分别为柱面行波场；（时间因子)tekrHBkrHAtrj)1(0)2(0)]()([),(tekrNBkrJAtrj00)()(),(均匀柱面驻波场形式解均匀柱面行波场形式解柱函数一般性质：)(xJn（a）幂级数表示)2(0)2()1(1!1)1()(kkkxkkxJ（b）奇偶性)()1()(xJxJnnn（c）振荡特性有无数个实数0点)(xJn（d）0点的奇异性和渐近展开：1|)(00xxJ0|)(0xnxJ（0点的有限性）)(0)4π2πcos(π2|)(23xxxxJx（一）n阶贝塞尔函数（二）n阶纽曼函数)(xNn（a）πsin)()(πcos)(xJxJxN（b）奇偶性)()1()(xNxNnnn（c）振荡特性有无数个实数0点)(xNn（d）0点的奇异性和渐进展开：2lnπ2|)(00xxNxnxnxnxN)2(π)!1(|)(0（n≥1）)(0)4π2πsin(π2|)(23xxxxNx柱函数一般性质（三）汗克尔函数)()1(xH)()2(xH)(j)()()1(xNxJxH)(j)()()2(xNxJxH0点的奇异性和渐近性展开nxnxnxH)2(π)!1(j|)(0)1(nxnxnxH)2(π)!1(j|)(0)2(（n≥1）2lnπ2j|)(0)1(0xxHx2lnπ2j|)(0)2(0xxHx)(0π2|)(23)4π2πj()1(xexxHxx)(0π2|)(23)4π2πj()2(xexxHxx；；柱函数一般性质柱函数的递推关系：（任意一种柱函数）)(xZ)())((1xZxxZxdxd)())((1xZxxZxdxd)(2)()(11xZxxZxZ)(2)()(11xZxZxZ柱函数一般性质（1）均匀柱面扩张波的速度势和声压3-8-2均匀柱面扩张波的性质tekrHAtrj)2(00)(),(速度势：声压：tekrHcAkttrtrpj)2(00)(j),(),(（2）均匀柱面扩张波的质点振速rtrtreekrkHAeedrkrdHAertrtruj)2(10j)2(00)()(),(),(均匀柱面扩张波场中不同位置的声压波形均匀柱面扩张波在不同时刻声压的空间分布结论1：1、均匀柱面扩张波声压与质点振速的幅值随传播距离的增加而减小；并且二者的信号波形不同。（3）均匀柱面扩张波的波阻抗)j()(j)()(j)(j)()(j),(~),(~),(1100)2(1)2(0aaaXRckrNkrJkrNkrJckrHkrcHtrutrprZ)()()π2()()()()()()(212121211001krNkrJkrkrNkrJkrNkrJkrNkrJRa)()()()()()(21211010krNkrJkrNkrNkrJkrJXakrkrNkrJkrNkrJπ2)()()()(1001均匀柱面扩张波波阻抗的实部（阻）和虚部（抗）均匀柱面扩张波波阻抗的模值和相角π3j()42000ππ3j()242πj2000000ππj()j222e0()π(,)|j2e0()π1ejeekrrkrkrkrZrckrkrccc利用渐近式可得距柱心很远处的波阻抗：结论2：均匀柱面扩张波的波阻抗不是常数，与平面行波的波阻抗不同！当kr值很大时，均匀柱面扩张波波阻抗和平面波波阻抗近似相等。（4）均匀柱面扩张波的声能流密度与声波强度：ttekrkHAekrHcAktrutrptrWj)2(10j)2(00)(Re)(jRe),(),(),(200111(,)πTAkcIrtdtTrr声能流声强结论3：均匀柱面扩张波的声强随着距离的一次方衰减。均匀柱面扩张波场中不同位置的声压与质点振速波形均匀柱面扩张波场中不同位置的声压与质点振速及声能流波形1、均匀柱面扩张波声压与质点振速的幅值随传播距离增加而减小；并且二者的信号波形不同。2、均匀柱面扩张波的波阻抗不是常数，与平面行波的波阻抗不同！当kr值很大时，均匀扩张柱面波波阻抗和平面波波阻抗近似相等。3、均匀柱面扩张波质点振速的相速度在近场区（kr值较小）比声压的相速度快；在远场区（kr值很大）质点振速的相速度与声压的相速度趋近一致，为场c0。4、均匀柱面扩张波在近场区有反向声能流；在远场区（kr值很大）声能流总是沿r正向传播。5、均匀扩张柱面波的声强随着距离的一次方衰减。均匀柱面扩张波的特点总结：