初二下期末几何压轴题及解析

1初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。）解（1）EB=FD。（2）EB=FD。证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD（3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）°∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．简单题证明：（1）如图1．在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．FABCDE图14321EDCBAF23、已知：△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠B=90°，AB=BC=1．（1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S，则1S=___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S，则2S=___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形的面积的和．记为3S；按照同样的方法继续操作下去……，第n次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．nS=______________．（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。）本题相当于中考12题的简单题解：（1）如图2；-------------1分（2）14，18，12n，112n．----------6分4、已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．（1）当OA=OD时，点D的坐标为______________，∠POA=__________°；（2）当OAOD时，求证：OP平分∠DOA；（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是________________．（第二问：如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等，即可。）（第二问的题外题：当OA＞OD时，求证：OP平分∠DOA；）图1EFABCD图2ABC图3CBAFED图4ABCFED图2CBAABCDPOxy3解：（1）(0,22)，45；证明：（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N．（如图3）∵四边形ABCD是正方形，∴PD=PA，∠DPA=90°．∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．∵∠NOM=90°，∴四边形NOMP中，∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA，∠2=∠NPM－∠NPA，∴∠1=∠2．在△DPN和△APM中，∠PND=∠PMA，∠1=∠2，PD=PA，∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．∴OP平分∠DOA．（3）2d≤22．-5、已知：如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA沿直线CA翻折，得到△DCA，且DA交CB于点E．（1）求证：EC=EA；（2）求点E的坐标；（3）连接DB，请直接写出．．．．四边形DCAB的周长和面积．（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE的长）（第三问的证明：过D做DM⊥AC于M，过B做BN⊥CA于N，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN（具体数）还看得DB=MN（具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。）证明：（1）如图1．∵△OCA沿直线CA翻折得到△DCA，∴△OCA≌△DCA．∴∠1=∠2．∵四边形OABC是矩形，∴OA∥CB．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．解：（2）设CE=AE=x．∵点A，C的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA=4，OC=3．∵四边形OABC是矩形，∴CB=OA=4，AB=OC=3，∠B=90°．在Rt△EBA中，222EAEBBA，∴222(4)3xx．解得258x．∴点E的坐标为(25,38)．（3）625，19225．6、已知：△ABC的两条高BD，CE交于点F，点M，N分别是AF，BC的中点，连接ED，MN．（1）在图1中证明MN垂直平分ED；（2）若∠EBD=∠DCE=45°（如图2），判断以M，E，N，D为顶点的四边形的形状，并证明你的结论．图312MNyxOPDCBANMABCDEFNMFEDCBA图2EBADCyxO4第一问，连接EM，EN，DM，DN，利用三角形斜边中线等于斜边一半得，ME=MD，NE=ND，所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。（有△ADF≌△BDC，得AF=BC，（还得∠MDA=∠NDB，证直角时用），进而得菱形，再证一直角得正方形，）（1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2）∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=12AF．同理，DM=12AF，EN=12BC，DN=12BC．∴EM=DM，EN=DN．∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．（2）判断：四边形MEND是正方形．证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3）∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，（Rt∠）DF=DC，∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC，∠1=∠2．∵由（1）知DM=12AF=AM，DN=12BC=BN，∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四边形MEND是正方形．7、（6分）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH。（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）求证：AP＋HC＝PH；（3）当AP＝1时，求PH的长。4312ABCDEFMN图35第一问，设∠EPB=∠EBP=m，则∠BPH=90°-m，∠PBC=90°-m，所以∠BPH=∠PBC，又因为∠APB=∠PBC，所以，∠APB=∠BPH。第二问的题外题：将此题与北京141之东城22和平谷24放在一起，旋转翻折共同学习；此题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°不能到达目的，于是延BP翻折，翻折后的剩余部分△BQH与△BCH也可全等，即可到达目的，还有意外收获：证得∠PBH=45°。第三问，代数方法的勾股定理。（1）证明：∵PE＝BE，∴∠EPB＝∠EBP，又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC。∴∠APB＝∠BPH。（2分）（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，由（1）知，∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP△QBP，∴AP＝QP，BA＝BQ。又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH△BQH，∴CH＝QH，∴AP＋HC＝PH。（4分）（3）由（2）知，AP＝PQ＝1，∴PD＝3。设QH＝HC＝x，则DH＝x4。在Rt△PDH中，222PHDHPD，即222431xx，解得4.2x，∴PH＝3.4（6分）8、（6分）如图，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD的形状并证明。6（也可问∠ADG的度数。）判断：△AGD是直角三角形。证明：如图联结BD，取BD的中点H，联结HF、HE，∵F是AD的中点，ABHFABHF21,//，∴∠1＝∠3。同理，HE//CD，HE＝CD21，∴∠2＝∠EFC。∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠EFC。∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF是等边三角形。∴AF＝FG∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝90°，即△AGD是（特殊）直角三角形。7（GE=BG-BE，GH是直角三角形的斜边，这样证全等。）10、阅读下列材料：小明遇到一个问题：AD是△ABC的中线，点M为BC边上任意一点（不与点D重合），过点M作一直线，使其等分△ABC的面积．他的做法是：如图1，连结AM，过点D作DN//AM交AC于点N，作直线MN，直线MN即为所求直线．8请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）如图2，在四边形ABCD中，AE平分ABCD的面积，M为CD边上一点，过M作一直线MN，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图2中画出直线MN，并保留作图痕迹）；（2）如图3，求作过点A的直线AE，使其等分四边形ABCD的面积（要求：在图3中画出直线AE，并保留作图痕迹）．（第二问，把△ABC的面积接到DC的延长线上。）11、已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；（2）如图2，对角线AC与BD交于点O．BD、AC分别与AE、BF交于点G，点H．①求证：OG＝OH；②连接OP，若AP＝4，OP＝2，求AB的长．【第二问①，证△AOG≌△BHO，第二问②，（在OB上截取BQ=AP，则△APO≌△BQO，得OP=OQ，AP=BQ，也可得∠OPG=∠OQP，又∠EPB=90°，最终得△OPQ是等腰直角三角形，可得PQ=2，从而求得PB=6，在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根号13.）】12、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=a，BC=b，DC=ba，且ab，点M是AB边的中点．（1）求证：CM⊥DM；（2）求点M到CD边的距离．（用含a，b的式子表示）D图1MBANC图3图2MEDCBA显示对象EDCBAABCDEFP图1ABCDOPEF图2GHABCDM9（我