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第三讲定积分与微积分基本定理【理科数学】第三章导数及其应用考情精解读A考点帮∙知识全通关目录CONTENTS考纲要求命题规律命题分析预测考点1定积分考点2微积分基本定理考法1求定积分考法2定积分的应用B考法帮∙题型全突破理科数学第三章：导数及其应用考情精解读考纲要求命题规律命题分析预测理科数学第三章：导数及其应用1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.考纲要求命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）1.定积分的计算2015湖南,T11定积分的计算(考法1)2.定积分的应用2015天津,T11求平面图形的面积(考法2)2013湖北,T7求变速运动的路程(考法2)1.分析预测本讲在近五年的全国卷中未考查,但却是自主命题地区的命题热点,常考查定积分的求解,定积分的应用(求平面图形的面积),多以选择题、填空题的形式出现,题目较简单,预测在2019年的全国卷中命题的概率依然不大.2.学科素养本讲主要考查考生的直观想象能力和数学运算能力.命题分析预测A考点帮∙知识全通关考点1定积分考点2微积分基本定理理科数学第三章：导数及其应用1.定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲,即求曲边梯形的面积时,将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形,用小矩形近似代替,利用矩形面积逼近求出曲边梯形的面积.这一步骤为分割—近似代替—求和—取极限.2.定积分的概念一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0x1…xi-1xi…xn=b将区间[a,b]等分为n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式∑𝑖=1𝑛f(ξi)Δx=∑i=1n𝑏−𝑎𝑛f(ξi).考点1定积分当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作𝑏𝑎f(x)dx,即𝑏𝑎f(x)dx=lim𝑛→+∞∑𝑖=1𝑛𝑏−𝑎𝑛f(ξi).其中f(x)叫作被积函数,区间[a,b]叫作积分区间,a叫作积分下限,b叫作积分上限,x叫作积分变量,f(x)dx叫作被积式.理科数学第三章：导数及其应用f(x)f(x)≥0表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a,b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积3.定积分的几何意义理科数学第三章：导数及其应用4.定积分的性质(1)𝑏𝑎kf(x)dx=k𝑏𝑎f(x)dx(k为常数);(2)𝑏𝑎[f1(x)±f2(x)]dx=𝑏𝑎f1(x)dx±𝑏𝑎f2(x)dx;(3)𝑏𝑎f(x)dx=𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx(其中acb).理科数学第三章：导数及其应用说明求分段函数的定积分,可以先确定不同区间上的函数解析式,然后根据定积分的性质(3)进行计算.一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么𝑏𝑎f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.通常记作𝑏𝑎f(x)dx=F(x)𝑎𝑏=F(b)-F(a).如果F'(x)=f(x),那么称F(x)是f(x)的一个原函数.考点2微积分基本定理常见被积函数的原函数规律总结理科数学第三章：导数及其应用(1)𝑏𝑎cdx=cx𝑎𝑏;(2)𝑏𝑎xndx=𝑥𝑛+1𝑛+1𝑎𝑏(n≠-1);(3)𝑏𝑎sinxdx=-cosx𝑎𝑏;(4)𝑏𝑎cosxdx=sinx𝑎𝑏;(5)𝑏𝑎1𝑥dx=ln|x|𝑎𝑏;(6)𝑏𝑎exdx=ex𝑎𝑏.B考法帮∙题型全突破考法1求定积分考法2定积分的应用理科数学第三章：导数及其应用考法1求定积分考法指导求解定积分的思路与方法:(1)找出被积函数,进行化简,即把被积函数变为常见函数(如幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等)与常数的和或差,对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,写成分段函数;(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差;(3)分别用求导公式找出F(x),使得F'(x)=f(x);(4)利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个定积分的值;(5)计算所求定积分的值.示例1计算下列定积分:(1)∫122𝑥dx;(2)∫π0cosxdx;(3)∫13(2x-1𝑥2)dx.理科数学第三章：导数及其应用思路分析求出被积函数的原函数即可得出结果.示例2利用定积分的几何意义计算下列定积分:(1)∫011−(𝑥−1)2dx;(2)5−5(3x3+4sinx)dx.解析(1)根据定积分的几何意义,可知∫011−(𝑥−1)2dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的14(如图中阴影部分).故∫011−(𝑥−1)2dx=π4.理科数学第三章：导数及其应用(2)设y=f(x)=3x3+4sinx,则f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)=-(3x3+4sinx)=-f(x),所以f(x)=3x3+4sinx在[-5,5]上是奇函数.所以0−5(3x3+4sinx)dx=-∫05(3x3+4sinx)dx.所以5−5(3x3+4sinx)dx=0−5(3x3+4sinx)dx+∫05(3x3+4sinx)dx=0.理科数学第三章：导数及其应用突破攻略1.当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图象与直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积易求时,可利用定积分的几何意义求定积分.2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则由定积分的几何意义和奇偶函数图象的对称性可得两个结论:(1)若f(x)是偶函数,则𝑎−𝑎f(x)dx=2∫0𝑎f(x)dx;(2)若f(x)是奇函数,则𝑎−𝑎f(x)dx=0.理科数学第三章：导数及其应用拓展变式1计算:1−1(1−𝑥2+x)dx=A.πB.π2C.π+1D.π-1理科数学第三章：导数及其应用解析1−1(1−𝑥2+x)dx=1−11−𝑥2dx+1−1xdx=π2+12x2−11=π2.故选B.答案B考法2定积分的应用考法指导1.求图形的面积利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出曲线的交点坐标,确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.注意①定积分是一个数值(极限值),可为正,可为负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正.②定积分的上下限的顺序不能颠倒.2.定积分在物理中的应用理科数学第三章：导数及其应用(1)变速直线运动的路程如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=𝑏𝑎v(t)dt;如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≤0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程s=-𝑏𝑎v(t)dt.(2)变力做功物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与力F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(ab),则变力F(x)所做的功W=𝑏𝑎F(x)dx.示例3求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.理科数学第三章：导数及其应用思路分析求出两曲线的交点坐标,可将所围成的平面图形进行适当的分割,利用定积分的几何意义转化为求定积分的值.解析如图所示,解方程组𝑦2=2𝑥,𝑦=𝑥−4,得两交点的坐标分别为(2,-2),(8,4).解法一选取横坐标x为积分变量,则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和,即S=2∫022𝑥dx+∫28(2𝑥-x+4)dx=18.解法二选取纵坐标y为积分变量,则图中阴影部分的面积S=4−2(y+4-12y2)dy=18.突破攻略设阴影部分的面积为S,则对如图所示四种情况分别有:理科数学第三章：导数及其应用(1)S=𝑏𝑎f(x)dx;(2)S=-𝑏𝑎f(x)dx;(3)S=∫𝑎𝑐f(x)dx-∫𝑐𝑏f(x)dx;(4)S=𝑏𝑎f(x)dx-𝑏𝑎g(x)dx=𝑏𝑎[f(x)-g(x)]dx.示例4一物体A以速度v(t)=t2-t+6作直线运动,则当时间由t=1变化到t=4时,物体A运动的路程是A.26.5B.53C.31.5D.63理科数学第三章：导数及其应用思路分析利用微积分基本定理求解.解析S=41(t2-t+6)dt=(13t3-12t2+6t)14=(643-8+24)-(13-12+6)=31.5.答案C