2020版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.12定积分与微积分基本定理课件理新人教版2

第二章函数、导数及其应用第十二节定积分与微积分基本定理课外拓展知识梳理·自主学习课堂探究·深度剖析知识梳理·自主学习课前热身稳固根基知识点一定积分的概念与性质1．定积分的概念在abf(x)dx中，分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．a，bf(x)xf(x)dx2．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋(其中acb)．kabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxcbf(x)dx1．判断正误(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积．()(3)微积分基本定理中F(x)是唯一的．()√××解析：(1)正确．(2)错误．当f(x)≥0时，S＝abf(x)dx.(3)错误．有无穷多个．知识点二微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且f′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作，即abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)ba2．定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1C解析：因为(x2＋ex)′＝2x＋ex，所以01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.3．(选修2－2P50习题1.5A组第5题改编)定积分-11|x|dx＝()A．1B．2C．3D．4解析：-11|x|dx＝-10－xdx＋01xdx＝20xdx＝x210＝1.故选A.A知识点三定积分的几何意义1．定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S.①S＝abf(x)dx；②S＝－abf(x)dx；③S＝acf(x)dx－cbf(x)dx；④S＝abf(x)dx－abg(x)dx＝.ab[f(x)－g(x)]dx2．匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即.s＝abv(t)dt4．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形(如图所示)的面积可表示为()A．02(x2－1)dxB．02|x2－1|dxC．|02(x2－1)dx|D．01(x2－1)dx＋12(x2－1)dxB解析：曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积可表示为02|x2－1|dx.5．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为.16解析：曲线y＝x2与y＝x的交点为(0,0)，(1,1)，则两图形围成的封闭图形的面积为01(x－x2)dx＝12x2－13x310＝16.6．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是.132m解析：s＝12(3t＋2)dt＝32t2＋2t21＝32×4＋4－32＋2＝10－72＝132(m)．1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则－aaf(x)dx＝20f(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则－aaf(x)dx＝0.课堂探究·深度剖析课堂升华强技提能考向一定积分的计算【例1】(1)(2019·四川凉山州诊断)1ex＋1xdx＝()A．e2B.e2＋12C.e2－12D.e2＋32(2)(2019·河南新乡一中月考)0π|sinx－cosx|dx＝()A．2＋22B．2－2C．2D．22BD【解析】(1)1ex＋1xdx＝12x2＋lnxe1＝12e2＋lne－12×12－ln1＝e2＋12.故选B.(2)0π|sinx－cosx|dx＝0π4(cosx－sinx)dx＋π4π(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)π40＋(－cosx－sinx)0π4＝22.故选D.利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．(1)-11e|x|dx的值为()A．2B．2eC．2e－2D．2e＋2(2)已知a＝0π2sinx2cosx2dx，则a＝.(3)121x＋2xdx＝.C2ln2＋2ln2解析：(1)-11e|x|dx＝-10e－xdx＋01exdx＝－e－x0-1＋ex10＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C.(2)a＝0π2sinx2cosx2dx＝0πsinxdx＝－cosxπ0＝－(cosπ－cos0)＝2.(3)121x＋2xdx＝lnx＋2xln221＝ln2＋4ln2－2ln2＝ln2＋2ln2.考向二定积分的几何意义【例2】利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)011－x－12dx；(2)-55(3x3＋4sinx)dx.【解】(1)根据定积分的几何意义，可知011－x－12dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的14(如图所示的阴影部分)．故011－x－12dx＝π4.(2)-55(3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，又f(0)＝0，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，所以-50(3x3＋4sinx)dx＝－05(3x3＋4sinx)dx，所以-55(3x3＋4sinx)dx＝-50(3x3＋4sinx)dx＋-50(3x3＋4sinx)dx＝0.根据定积分的几何意义可利用面积求解定积分.画出被积函数的图形，结合上、下限求出面积，即可得到定积分的值.(1)计算：133＋2x－x2dx＝.(2)若-2m－x2－2xdx＝π4，则m＝.π解析：(1)由定积分的几何意义知，133＋2x－x2dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴133＋2x－x2dx＝14×π×4＝π.－1(2)根据定积分的几何意义-2m－x2－2xdx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又-2m－x2－2xdx＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.考向三定积分的应用方向1定积分在平面几何中的应用【例3】由曲线y＝x2，y＝x围成的封闭图形的面积为()A.16B.13C.23D．1B【解析】由题意可知所求面积(如图阴影部分的面积)为01(x－x2)dx＝23x32－13x310＝13.1．若本例中“y＝x2”改为“y＝－x＋2”，求曲线y＝－x＋2，y＝x与x轴所围成的面积．解：如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为01xdx＋12(－x＋2)dx＝23x3210＋2x－x2221＝76.2．若本例变为：求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．解：如图所示，由y＝x，y＝2－x得交点A(1,1)．由y＝2－x，y＝－13x，得交点B(3，－1)．故所求面积S＝01x＋13xdx＋132－x＋13xdx＝23x32＋16x210＋2x－13x231＝23＋16＋43＝136.方向2定积分在物理中的应用【例4】汽车以72km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.50【解析】先求从刹车到停车所用的时间t，当t＝0时，v0＝72km/h＝20m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.令v(t)＝0，可得t＝5s.所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：05(20－4t)dt＝(20t－2t2)50＝50(m)．即汽车从开始刹车到停止，共走了50m.1.求曲边图形的面积的4步骤1根据题意画出图形；2借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；3把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；4计算定积分，写出答案.,求解时，注意要把定积分与利用定积分计算图形面积区别开：定积分是一个数值极限值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1．(方向1)(2019·新疆适应性检测)由曲线y＝x2＋1，直线y＝－x＋3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为()A．3B.103C.73D.83B解析：由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由y＝x2＋1，y＝－x＋3，解得x＝－2，y＝5，(舍去)或x＝1，y＝2，即A(1,2)，结合图形可知，所求的面积为01(x2＋1)dx＋12×22＝13x3＋x10＋2＝103.2．(方向2)一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方(比例系数为k，k0)，则物体由x＝0运动到x＝a，阻力所做的功为.277k3a7b2解析：物体的速度v＝dxdt＝(bt3)′＝3bt2.媒质的阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4.当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝t1＝ab13，又dx＝vdt，故阻力所做的功为W阻＝0aF阻dx＝0t1kv2·vdt＝k0t1v3dt＝k0t1(3bt2)3dt＝277kb3t71＝277k3a7b2.