优选教育学年数学人教版选修优化课件：第四讲二用数学归纳法证明不等式举例

二用数学归纳法证明不等式举例考纲定位重难突破1.会用数学归纳法证明简单的不等式．2.会用数学归纳法证明贝努利不等式．3.了解贝努利不等式的应用条件.重点：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．2.会用数学归纳法证明贝努利不等式．难点：贝努利不等式的应用.01课前自主梳理02课堂合作探究03课后巩固提升课时作业[自主梳理]一、本节的有关结论1．n22n(n∈N＋，)．2．|sinnθ|≤|sinθ|(n∈N＋)．3．贝努利不等式如果x是实数，且x－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有.当α是实数，并且满足α1或者α0时，有．当α是实数，并且0α1时，有．n≥5n(1＋x)n1＋nx(1＋x)α≥1＋αx(x－1)(1＋x)α≤1＋αx(x－1)4．如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥.二、用数学归纳法证明不等式在用数学归纳法证明不等式时，我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是．n比较法[双基自测]1．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N＋，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2kD．2k＋1解析：n＝k时，左边为1＋12＋13＋…＋12k－1；n＝k＋1时，左边为1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－2＋12k＋1－1，故增加了2k＋1－1－2k＋1＝2k项，选C.答案：C2．对于正整数n，下列说法不正确的是()A．32≥1＋2nB．0.9n≥1－0.1nC．0.9n1－0.1nD．0.1n≥1－0.9n解析：由贝努利不等式∵(1＋x)n≥1＋nx，(n∈N＋，x≥－1)，∴当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，故A正确．当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．答案：C3．用数学归纳法证明不等式n＋221＋12＋13＋…＋12nn＋1(n∈N＋，n1)，当n＝2时，要证明的式子是________．解析：当n＝2时，2＋221＋12＋13＋142＋1.答案：21＋12＋13＋1434．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证________时，3n≥n3成立．解析：第一步应验证n＝3时，3n≥n3成立．答案：n＝3探究一贝努利不等式[例1]求证：(1＋1)1＋131＋15…1＋12n－12n＋1.[证明]由贝努利不等式(1＋x)n1＋nx(n∈N＋，x－1且x≠0)，得1＋12k－121＋2×12k－1，其中n＝2，x＝12k－1(k∈N＋)，即1＋12k－12k＋12k－1，则1＋13，1＋1353，1＋1575，…，1＋12n－12n＋12n－1(n∈N＋)，将上述各式两边分别相乘得：(1＋1)1＋131＋15…1＋12n－13×53×75×…×2n＋12n－1＝2n＋1，∴(1＋1)1＋131＋15…1＋12n－12n＋1(n∈N＋)．在数学研究中，经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1＋x)n缩小为简单的1＋nx的形式，这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用．例如：当x是实数，且x－1，x≠0时，有贝努利不等式不难得到不等式1－x1＋xn1－nx1＋x对一切不小于2的正整数n成立．1．证明：(1＋1)1＋141＋17…1＋13n－233n＋1(可考虑用贝努利不等式n＝3的特例)．证明：利用贝努利不等式(1＋x)n1＋nx(n∈N＋，n≥2，x－1，x≠0)的一个特例1＋13k－231＋3·13k－2此处n＝3，x＝13k－2得1＋13k－233k＋13k－2，k分别取1,2，…，n时，所得n个不等式左右两边相乘，得：(1＋1)1＋14…1＋13n－2341·74·107·…·3n＋13n－2.即(1＋1)1＋141＋17…1＋13n－233n＋1，得证．探究二用数学归纳法证明不等式[例2]用数学归纳法证明：112＋122＋…＋1n22(n∈N＋)．[证明]不妨把命题112＋122＋…＋1n22，强化为112＋122＋…＋1n2≤2－1n.证明：(1)当n＝1时，不等式显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时不等式成立，即112＋122＋…＋1k22－1k.则当n＝k＋1时，112＋122＋…＋1k2＋1k＋122－1k＋1k＋12.又有－1k＋1k＋12＋1k＋1＝－1kk＋12，所以－1k＋1k＋12－1k＋1.所以2－1k＋1k＋122－1k＋1.则当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，所有正整数不等式都成立．又2－1n2，所以112＋122＋…＋1n22(n∈N＋)成立．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明．2．求证：当n≥2且n∈N时，1n＋1＋1n＋2＋…＋13n910.证明：(1)当n＝2时，不等式的左边＝13＋14＋15＋16＝1920910，所以，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1k＋1＋…＋13k910.当n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1－1k＋1910＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1－1k＋1.由于13k＋113k＋1，13k＋213k＋1，因此左边910＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋1－1k＋1910＋13k＋1＋13k＋1＋13k＋1－1k＋1＝910.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)，(2)知，不等式对大于1的正整数都成立．探究三归纳、猜想、证明[例3]设f(n)0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．[解析](1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)0(n∈N＋)，∴f(1)＝2.取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，猜想f(n)＝2n.证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．3．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn512.解析：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1bk＝(k＋2)2，所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明：1a1＋b1＝16512.n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1an＋bn16＋1212×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋1212－1n＋116＋14＝512.综上，原不等式成立．用数学归纳法证明探索性问题[典例](本题满分12分)若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[解析]取n＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624a24，而a∈N＋，所以a的最大值为25.……………………………………………………………3分用数学归纳法证明：1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋12524.①当n＝1时，已证结论正确.……………………………………………………5分②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋13k＋12524，……………………………………………6分则当n＝k＋1时，有1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋12524＋13k＋2＋13k＋4－23k＋1.+…………………………………8分因为13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋823k＋1，所以13k＋2＋13k＋4－23k＋10，所以1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋12524，即n＝k＋1时，结论也成立.…………………………10分由①②可知，对一切n∈N＋，都有1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋12524，故a的最大值为25.…………………………………………………………………12分[规律探究](1)探索性问题的关键是通过具体情形进行分析归纳，总结出符合题目要求的一般的表现形式，达到猜想出一般结论的目的．(2)对于猜想的一般性结论并不一定正确，只有用数学归纳法加以证明才能确定其正确性.[随堂训练]1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－112764(n∈N＋)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10解析：当n＝7时，左边＝12764，不等式不成立，当n＝8时，左边＝25512812764，不等式成立，∴n0＝8.答案：B2．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．又若P(n)对n＝2成立．则下列结论正确的是()A．P(n)对所有n∈N＋成立B．P(n)对所有正偶数成立C．P(n)对所有正奇数成立D．P(n)对所有大于1的正整数成立解析：∵在上面的证明方法中，n的第一个值为2，且递推的依据是当n＝k时，命题正确，则当n＝k＋2时，命题也正确．∴P(n)是对所有的正偶数成立．答案：B3．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立，猜想在n边形A1A2…An中，其不等式为________．解析：n＝3时，不等式为1A＋1B＋1C≥323－2π，n＝4时，不等式为1A＋1B＋1C＋1D≥424－2π，n＝5时，不等式为1A＋1B＋1C＋1D＋1E