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12010年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有【分析】先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．【解答】解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=故选A．【点评】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．2．（5分）（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．菁优网版权所有【分析】先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程【解答】解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．【点评】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3．（5分）（2010•福建）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．9【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．24．（5分）（2010•福建）函数的零点个数为（）A．3B．2C．1D．0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．5．（5分）（2010•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2B．3C．4D．5【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S的值，并输出满足条件S＞11时，变量i的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：aSi是否继续循环循环前/01/第一圈222是第二圈8103是第三圈24344否此时i值为4故选C3【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）（2010•福建）如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平行线等分线段定理．菁优网版权所有【分析】根据直线与平面平行的性质定理可知EH∥FG，则EH∥FG∥B1C1，从而Ω是棱柱，因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，则EF⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，从而四边形EFGH是矩形．【解答】解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选D．【点评】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．7．（5分）（2010•福建）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）4A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．8．（5分）（2010•福建）设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）A．B．4C．D．2【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有5【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域Ω1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．【解答】解：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离最小，故|AB|的最小值为，故选B．【点评】利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解．9．（5分）（2010•福建）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1B．﹣1C．0D．i【考点】复数的基本概念；集合的含义．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．【解答】解：由题意，可取a=1，b=﹣1，c2=﹣1，c=i，d=﹣i，或c=﹣i，d=i，所以b+c+d=﹣1+i+﹣i=﹣1，故选B．【点评】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识；一般结论对于特殊值一定成立．10．（5分）（2010•福建）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，6存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=②f（x）=10﹣x+2，g（x）=③f（x）=，g（x）=④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【考点】极限及其运算；数列的应用．菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义．【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时便不符合，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）﹣g（x）→0；对于③f（x）=，g（x）=，，设λ（x）=x﹣lnx，＞0，且lnx＜x，所以当x→∞时x﹣lnx越来愈大，从而f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→+∞时，，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C故选C【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2010•福建）在等比数列{an}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式an=4n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通项an=4n﹣1．故答案为：4n﹣1．7【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题．12．（4分）（2010•福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于．【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，可知三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，再求解面积即可．【解答】解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为3×2×1=6，所以其表面积为．【点评】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力．13．（4分）（2010•福建）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于0.128．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确；又有每个问题的回答结果相互独立，结合相互独立事件的概率乘法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128．法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.