八上培优6--等边三角形与全等三角形

八上培优6等边三角形与全等三角形20190920一．选择题（共6小题）1．如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM．若∠ABM=40°，则∠APB=（）A．40°B．45°C．50°D．60°2．如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（）A．B．C．D．不能确定3．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，若∠AEB=70°，则∠EBD的度数是（）A．115°B．120°C．125°D．130°4．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=65°，则∠AEB的度数是（）A．115°B．120°C．125°D．130°5．如图，OE是等边△AOB的中线，OB=4，C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边△ACD，连接ED，下列说法正确的是（）A．ED的最小值是2B．ED的最小值是1C．ED有最大值D．ED没有最大值也没有最小值6．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°二．填空题（共3小题）7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC于点E、M、F，交BC的延长线于点G，给出下列四个等式：①∠1=（∠2+∠3）；②∠1=（∠3﹣∠2）；③∠4=（∠3﹣∠2）；④∠4=∠1．其中，正确的是（填序号）．8．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小值为cm．9．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．当t=秒时，△DFE与△DMG全等．三．解答题（共14小题）10．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求：AM=cm，=；（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S△AED=2S△DGC；（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；（4）若BD=8，则CD=cm．11．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．12．已知，点D、E分别是等边△ABC的边BC、AB上的点，∠ADE=60°．（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE=3BE；（2）如图2，点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证：BE=CM；（3）如图3，作CF∥AB交ED的延长线于点F，探究三条线段BE、CF、CD之间的数量关系，并给出证明．13．已知△ABC中，AC=BC，（1）如图1，分别过A、B做AM⊥BC，BN⊥AC，垂足分别为点M、N，AM与BN相交于点P，求证：AP=BP；（2）如图2，分别在AC的右侧、BC的左侧做等边△ACE和等边△BCD，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G，求证：点G是AB的中点；（3）在（2）的条件中，当∠ACB的大小发生变化时，设直线CD与直线AE相交于H点，当∠ACB等于度时，使得AH=CD．14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．15．如图，在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE的值．16．在边长为4的等边△ABC中．（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度数；（2）点P、Q在BC边上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM，依题意将图2补全，并求证：PA=PM．（3）在（2）中，当AM的值最小时，直接写出CM的长．17．在等边△ABC中，（1）点E在AB上，点D在CB的延长线上，∠EDC=∠ECD，如图1，试确定线段AE与DB之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，点E在AB上，AE=3BE，连接CE，作∠BCM=∠AEC，CM=CE，连接AM交BC于P点，求BP：CP的值；（3）如图3，△ABC的边长为6，点E在AB上，点D在BC上，以DE为边作等边△DEF，若点F在△ABC外，BE=x（3＜x＜6），连接CF，且有CF⊥BC，直接写出CD的长，（用含有x的式子表示）18．如图1，△ABC是边长为8cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以acm/s的速度运动，点E从C点出发沿C→B方向在线段CB上以bcm/s的速度运动，D，E两点同时出发，运动时间为ts，当点D到达点A后，D，E两点停止运动．（1）如图2，若a=b=1，连接AE，CD，相交于点F，连BF①求∠AFC的度数；②当AF=2CF时，求t的值（2）如图3，若a=2，b=1，连接DE，以DE为边作等边△DEM，使M，B在DE的两侧，点O为AC的中点，连接OM，求OM的最小值．19．已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1=∠2；②如图2，若BF=2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE=∠BAC=2∠CFE，求的值．20．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，0），C（0，c），且|a+b|+（c﹣a）2=0，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动．连接PA，PB．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，D为AC上的动点（不与A、C两点重合）问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？并直接写出此时点D的坐标．（3）如图2，若PA＞AB，以PA为边作等边△APQ，使△APQ与△ABP位于AP的同侧，直线BQ与y轴、直线PA交于点E、F，请找出线段PE，EQ，OE之间的数量关系（等量关系），并说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C．（1）直接写出点C的横坐标；（2）作点C关于y轴的对称点D，连DA交OB于E，求OE的长；（3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH．当OH最短时，求点H的横坐标．22．如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点．（1）如图，若OC=5，求BD的长度；（2）设BD交x轴于点F，求证：∠OFA=∠DFA；（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值23．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=a，AB=b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b=0．（1）试判定△ABO的形状；（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE=BE+CE；（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．