三角形射影定理解高考题

高中版高中版2015年9月教学参谋解法探究一、缘起早在1990年，就有老师撰文“建议在中学数学教材中补充射影定理公式”，在普通高中新课程标准实验教材数学必修5（人教A版）第22页，编者虽以习题的形式让三角形射影定理崭露头角，但仍没有将其命名为三角形射影定理.三角形射影定理，其结构优美、和谐，可以和三角形中赫赫有名的正弦定理和余弦定理相媲美，是揭示三角形边角关系的重要定理之一.笔者发现，很多有关三角形边角关系的高考试题，若能灵活、恰当地应用三角形射影定理，往往比用正弦定理或余弦定理更加快速、简捷，可使问题化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果.二、什么是三角形射影定理在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.三、三角形射影定理的证明证明：（1）当△ABC为直角三角形时（如图1），不妨设角B为直角，由直角三角形边角关系得a=bcosC，又cosB=0，所以a=bcosC+ccosB；（2）当△ABC为锐角三角形时（如图2），过点A作AD⊥BC，垂足为D，由直角三角形边角关系得BD=ccosB，DC=bcosC，所以a=BD+DC=ccosB+bcosC.（3）当△ABC为钝角三角形时（如图3），不妨设角B为钝角，过点A作AD⊥BC，垂足为D，由直角三角形边角关系得DC=bcosC，BD=ccos∠ABD=ccos（π-B）=-ccosB，所以a=DC-DB=bcosC-（-ccosB）=bcosC+ccosB.综上所述，在任意△ABC中，都有a=bcosC+ccosB.同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.ABC图1图2ABDCADBC图3评注：在三角形射影定理颇多的证明中，上述证明显然是最烦琐，但却是最直观的.三角形射影定理的几何意义从证明过程中清楚明白地呼之欲出，即三角形中任意一边的长度是另外两边在该边上的射影的代数和，三角形射影定理由此而得名.下面我们分别利用向量、余弦定理和正弦定理，给出三种简证.简证1：因为BB%C=BB%A+AB%C，所以BB%C·BB%C=BB%C·（BB%A+AB%C）圳BB%C·BB%C=BB%C·BB%A+BB%C·AB%C.即a2=accosB+abcosC.从而有a=bcosC+ccosB.同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.简证2：由余弦定理，得bcosC+ccosB=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=a2+b2-c2+a2+c2-b22a=a.从而有a=bcosC+ccosB.同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.简证3：由正弦定理，得bcosC+ccosB=2R·sinBcosC+2R·sinCcosB=2R（sinBcosC+sinCcosB）=2R·sin（B+C）=2R·sinA=a.从而有a=bcosC+ccosB.同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.四、三角形射影定理在解高考题中的应用例1（2014年广东卷理科第12题）设△ABC的内角活用三角形射影定理解高考题更精彩筅云南省大理州漾濞县第一中学秦庆雄筅云南省大理州漾濞县第一中学范花妹68高中版高中版2015年9月教学参谋解法探究A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则ab=________.简解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，则a=2b，于是ab=2.故答案为2.例2（2013年新课标Ⅱ卷理科第17题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+csinB．（I）求B；（II）若b=2，求△ABC的面积的最大值．简解：（I）由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，则bcosC+ccosB=bcosC+csinB圯ccosB=csinB圯cosB=sinB圯tanB=1.所以B=π4．（II）略.例3（2013年辽宁卷理科第5题）在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，asinBcosC+csinBcosA=12b，且ab，则B=（）.A.π6B.π3C.2π3D.5π6简解：由三角形射影定理得b=ccosA+acosC，则12b=asinBcosC+csinBcosA=sinB（acosC+ccosA）=bsinB圯sinB=12，即B=π3或2π3.由ab，得AB，所以B=π3.故答案为B.例4（2013年北京卷理科第15题）在△ABC中，a=3，b=26摇姨，B=2A．（I）求cosA的值；（II）求边c的值．简解：（I）cosA=6摇姨3，过程略.（II）由三角形射影定理得c=acosB+bcosA=acos2A+bcosA=a（2cos2A-1）+bcosA=326摇姨33%摇2--’1+26摇姨×6摇姨3=5，所以c=5．例5（2013年陕西卷理科第7题）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定简解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，则asinA=bcosC+ccosB=a圯sinA=1，则A=π2.故答案为B.例6摇（2008年山东卷理科第15题）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量m=（3摇姨，1），n=（cosA，sinA），若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则B=______．简解：由m⊥n，得3摇姨cosA-sinA=0.即sinA-π33%=0.则A=π3.由三角形射影定理得c=acosB+bcosA，则c=csinC，则sinC=1.从而C=π2，则B=π6.故答案为π6.例7（2008年湖北卷理科第12题）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a=3，b=4，c=6，则bccosA+accosB+abcosC的值为______．简解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，则bccosA+accosB+abcosC=12［a（bcosC+ccosB）+b（acosC+ccosA）+c（bcosA+acosB）］=12（a2+b2+c2）=612.故答案为612.例8（2008年全国Ⅰ卷理科第17题）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB-bcosA=35c.求tanAcotB的值.简解：由三角形射影定理得c=acosB+bcosA，则acosB-bcosA=35（acosB+bcosA），则acosBbcosA=4.由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB.代入acosBbcosA=4中，得tanAcotB=4.例9（2008年浙江卷理科第13题）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若（3摇姨b-c）cosA=acosB，则cosA=______．简解：将条件（3摇姨b-c）cosA=acosB变形为3摇姨bcosA=acosB+ccosA.由三角形射影定理得acosB+ccosA=b，则3摇姨bcosA=b.所以cosA=3摇姨3.故答案为3摇姨3.A69活用三角形射影定理解高考题更精彩作者：秦庆雄，范花妹作者单位：云南省大理州漾濞县第一中学刊名：中学数学英文刊名：MiddleSchoolMathematics年，卷(期)：2015(17)引用本文格式：秦庆雄.范花妹活用三角形射影定理解高考题更精彩[期刊论文]-中学数学2015(17)