第三章1傅里叶级数

第三章傅里叶变换1.利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散谱；2.利用傅里叶积分分析非周期信号的连续谱；3.理解信号的时域与频域间的关系；4.用傅里叶变换的性质进行正逆变换；5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理。本章重点3.1引言傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1822年首次发表“热的分析理论”中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表傅立叶的两个最主要的贡献：“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义：2.从系统分析角度:已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。1.从信号分析的角度:将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。傅里叶分析法是信号分析和系统设计的不可缺少的重要工具3.2周期信号的傅立叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数）角频率为任意周期信号（周期设1112,Tf(t)T则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数11;nn其中基波——角频率为的分量次谐波——角频率为的分量0111cos()sin()()nnnaaftttbnn1、三角函数形式的傅里叶级数011001001010111011cos()11()()2()2()1,2,in)...s(tTTttTtnntTtftdtftdtTTftdtTftdtttTnaabnn直流分量：其中余弦分量幅度：正弦分量幅度：为了积分方便，通常取积分区间为：2~2~0111TTT或三角函数集是一组完备的正交函数0.sin.cos11100dttmtnTtt1010211()sinsin()0TtTtmnntmtdtmn1010211()coscos()0TtTtmnntmtdtmn有关正交函数集及正交函数分解的概念，参见教材第六章：329页6.3信号的正交函数分解2、另一种三角函数形式的傅里叶级数110101cos(()()s)in()nnnnnnftftddntctcn或展开为常用形式f(t)20200,nnnnnnnnnnddaarctgarctgcacabbab其中3、傅里叶级数展开的充分条件f(t)傅里叶级数存在的充分条件：周期信号须满“狄利克雷”(Dirichlet足)条件，即010()tTtftdt间断点极值绝一周期内仅有限个；一周期内仅有限个；一周可期内对，积通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。例：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号1()[()()]22ftEutut111011122sin((2))2()nEnEnSanTnaSEEaTTaTT111112()c()os)2(nnSEETTftnta4、展开式的物理含义任何信号只要满足狄利克雷条件都可以展开为三角函数级数的形式，即可以展开为直流分量和正弦或余弦分量的叠加：)cos()(110nnntncctf从展开式中可以看出，正弦或余弦分量的频率是基频f1的整数倍,通常把正弦或余弦分量定义为基波分量和谐波分量。基波：频率为21111Tf的分量二次谐波：频率为三次谐波：频率为112/2f113/3f的分量的分量)cos()(110nnntncctf显然：信号直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。信号的直流分量、基波和各次谐波的幅度、相位都是nω1的函数，可以利用图形的方法将它们描述，就是信号的幅频图和相频图。5、周期信号的频谱图：幅度谱和相位谱1~nnc单边频谱图：信号的幅度谱1~nn信号的相位谱1w13w0cnc1c2c3c1nww00n1w13w1nww各频率分量的幅度称为谱线，连接谱线顶点的曲线称为包络线。周期信号频谱图的特点：离散性、谐波性、收敛性二、指数形式的傅里叶级数0111cos()sin()()nnnaaftttbnn由三角形式的傅里叶级数：利用欧拉公式：tjntjntjntjneejtneetn111121sin21cos11可以得到指数形式的傅里叶级数：11(())jtnnnFfte1、指数形式的傅里叶级数11(())jtnnnFfte010110100()1()~tTtnnjtftdtTnFnFFcae记复函数：其中直流分量：2、傅里叶级数各系数之间的关系221n021122(nnnnnnnnnnnjFFaFjbabce当时，其中三角函数形式）1()2njnnnnFFeajb11(())jtnnnFfte0111cos()sin()()nnnaaftttbnn)cos()(110nnntncctf3、指数形式表示的信号频谱--复数频谱11~~nnnnF双边频谱图：复函数幅度谱，复函数相位谱Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。1w0cnF121c221c1nww01w1nw0n1nww1nw1w0cnF121c221c1nww01w1nw幅度谱与相位谱合并1w0cnF121c221c1nww01w1nw周期信号频谱图的特点：离散性、谐波性、收敛性说明：频谱中出现了负频率，而负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有把负频率与相应的正频率项成对地结合起来，才是实际的频谱函数。1011()cos()jntnnnnnftFeccnt4.周期信号的功率特性f(t)P平均功率时域与频域的能量守恒：任意周期信号的等于其傅各谐波分量里叶级数展有效值开式中的平方和周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。)(2tfP12220)(21nnnbaannF2100)(121TttdttfT122021nncc帕塞瓦尔定理三、函数的对称性与傅里叶系数的关系1.函数的对称性要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，根据其系数求解公式可知：傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。波形对称性有两类：（1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。（2）对半周期对称。即奇谐函数。100).(110TttdttfTa100.cos).(211TttndttntfTadttntfTbTttn.sin).(2100112.根据对称性求解傅里叶级数的系数112014cos()()()0()nnTtanftdtTftfbt1)偶函数信号：t)(tfE021T21T例如：周期三角波信号是一偶函数,20nnnnnnacaFF其他系数：1()Fn其傅里叶级数三角展开式中仅含和，其傅里叶级数指数展开式中直为流项余弦项实函数。)5cos(251)3cos(91)cos(42)(1112twtwtwEEtf其傅里叶级数表达式为：t)(tfE021T21T例如：周期三角波信号是一偶函数102011004()()(sin())TnnaftftftabtTtnd2)奇函数信号：，－t)(tf2E021T21T例如：周期锯齿波信号是一奇函数2E000,,12nnnnnncacdbFFbj其他系数的求解：t)(tf2E021T21T例如：周期锯齿波信号是一奇函数2E1()Fn其傅里叶级数三角展开式中仅含，其傅里叶级正弦项数指数展开式纯中为虚函数。)3sin(31)2sin(21)sin()(111twtwtwEtf其傅里叶级数表达式为：3）奇谐函数信号（半波对称函数）其傅里叶级数三角展开式中仅含和基波奇次谐波1112011201cos()sin4()4(()0)nnnTTnababnnnttftdtTftdtnT为偶，为奇，002210,,2nnnnnnnncacabFarctbagc＋奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：00a)2()(1Ttftf奇谐函数举例：t)(tf2E021T21T2Et)(tf2E021T21T2E)cos(1twt)(tf2E021T21T2E)sin(1twt)(tf2E021T21T2E)2sin(1tw作业：3-23-43-7(a)(b)(d)