高考数学大题专练之立体几何

立体几何专练1、如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF//平面；（思考证线面平行的方法）(II)求三棱锥的体积.（思考一下锥体的体积公式）2、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点．(1)求证：ACDE；(2)当AEC面积的最小值是9时，证明EC平面PAB．（线面垂直的证明，试试用两种方法做）3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC；（2）求证：EF//平面PDC；（3）求三棱锥B—AEF的体积。4、如图所示,三棱柱中,,平面平面,111ABCABC12ABACAA1ABC11AACCCABDPE又,与相交于点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;5、如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2CBDCAD，30CAB，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，3CF．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角CAMB的余弦值．6、已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，高为2．M为线段PC的中点．(Ⅰ)求证：PA∥平面MDB；(Ⅱ)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．7、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.11160AACBAC1AC1ACOBO11AACC1AB11AACC8、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。（1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积9、如图，在直三棱柱111CBAABC中，BAC90°,1AAABAC,E是BC的中点.（Ⅰ）求异面直线AE与CA1所成的角；（Ⅱ）若G为CC1上一点，且CAEG1，求二面角EAGA1的大小.10、如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为60的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．（1）求证：平面PAB平面PCD；（2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．2BCPDAADBCPE11、如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，2AB，1AF，M是线段EF的中点。(1)求异面直线CM与直线AB所成的角的大小；(2)求多面体EFABCD的表面积。12、如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF．（1）求证：PC⊥面AEF；（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。13、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点。（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由14、如图，已知直四棱柱1111DCBAABCD，底面ABCD为菱形，120DAB，E为线段1CC的中点，F为线段1BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）当1DDAD的比值为多少时，DF平面EBD1，并说明理由．15、如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，030BAC，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．（I）证明：EM⊥BF；（II）求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值．D1BF1A1DE1CABC16、已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且60ABCo，2,ABEC2AEBE,O为AB的中点.（Ⅰ）求证：EO平面ABCD；（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．答案1、如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，，，侧棱，棱AA1与底面所成的角为，点F为DC1的中点.(I)证明：OF//平面；(II)求三棱锥的体积.解：（I）四边形ABCD为菱形且，是的中点.ACBDOOBD又点F为的中点,在中，,平面，平面,平面（II）四边形ABCD为菱形,,又，且平面,平面,平面,平面平面.在平面内过作，则，是与底面所成的角，.在，故三棱锥底面上的高为，又，所以，三棱锥的体积.2、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC，63BD，E是PB上任意一点．(1)求证：ACDE；(2)当AEC面积的最小值是9时，证明EC平面PAB．解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F。因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD。又因为PD平面ABCD，AC平面PDBE为PB上任意一点，DE平面PBD，所以ACDE（2）连ED．由（I），知AC平面PDB，EF平面PBD，所以ACEF．1,2ACESACEF在ACE面积最小时，EF最小，则EFPB．19,692ACESEF，解得3EF由PBEF且PBAC得PB平面,AEC则PBEC，又由3EFAFFC得ECAE，而PBAEE，故EC平面PAB。3、在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC；（2）求证：EF//平面PDC；（3）求三棱锥B—AEF的体积。解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形∴BCDC又PD面ABCD,BC面ABCD∴BCPD,又PDDC=D∴BC面PDC从而BCPC（Ⅱ）取PC的中点G，连结EG，GD，则∴四边形EFGD是平行四边形。∴EF//GD,又∴EF//平面PDC。（Ⅲ）取BD中点O，连接EO，则ＥO//PD，∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥底面ABCD，1DC1DBC1//BCOFOF11BCCB1BC11BCCB//OF11BCCB.ACBDBD1AA1,AAACA1,AAAC11ACCABD11ACCABDABCDABCD11ACCA1AC1A1AMACM于1AMABCD平面1AAM1AA160AAM1RtAAM中,11sin6023AMAA1CBCDBCD231sin6032BCDSBCCD1CBCD113232.33BCDVSh.//21//DFGEBCEG，所以，平面PDCEFPDCDG平面1EO31124131312OESVVABFABFEAEFB4、如图所示,三棱柱中,,平面平面,又,与相交于点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;【解】(Ⅰ)由题知,,所以为正三角形,所以又因为,且，所以为正三角形,又平行四边形的对角线相交于点,所以为的中点,所以，又平面平面,且平面平面,且平面，所以平面(Ⅱ)〖解法一〗连结交于,取中点,连结,,则,又平面所以平面,,所以直线与平面所成角为.而在等边中,,所以,,同理可知,,在中,所以中,,.所以与平面所成角的正弦值为.〖解法二〗由于,平面,所以平面,所以点到平面的距离即点到平面的距离,由平面,所以到平面的距离即,也所以与平面所成角的正弦值为,而在等边中,,所以,同理可知,,所以,又易证平面,所以,也所以,所以，即与平面所成角的正弦值为.5、如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2CBDCAD，30CAB，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，3CF．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角CAMB的余弦值．(1)证明：60,2ABCCBDCAD，则4AB，122AC，则得222BCACABACBC，面ACEF平面ABCD，面ACEF平面ABCDACBC平面ACEF．111ABCABC12ABACAA1ABC11AACC11160AACBAC1AC1ACOBO11AACC1AB11AACC12ACAA1160AAC11AAC12AC2AB160BAC1BAC11AACCOO1AC1BOAC1ABC11AACC1ABC11AACC1ACBO1BACBO11AACC1AB1ABE1AOFEFAFEFBOBO11AACCEF11AACCEFAF1AB11AACCEAF1BAC2AB3BO32EF1133,2AOAF1AAF222111172cos304AFAAAFAAAFRtEFA22102AEEFAF30sin10EFEAFAE1AB11AACC301011BBCC1BB11AACC1BB11AACC1B11AACCB11AACCBO11AACC1B11AACCBO1AB11AACC1sinBOAB1BAC2AB3BO13AOOC226BCBOOC116BC1OC1BACOCBC11OCBC22111110ABBCAC1330sin1010BOAB1AB11AACC3010（II）过C作AMCH交AM于点H，连BH,则CHB为二面角CAMB的平面角，在BHCRT中，13,3HBCH，则二面角CAMB的余弦值为6、已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的正方形，高为2．M为线段PC的中点．(Ⅰ)求证：PA∥平面MDB；(Ⅱ)N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．(Ⅰ)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得PO＝2，AC＝22，PA＝PC＝2，CO＝AO＝2．因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB．(Ⅱ)解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝2CPNP，故直线CN与平面BMD所成角的正切值为27、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD.因为A1D⊂面A1CD，∴BC⊥A1D.(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A1C⊂面A1BC，∴A1D⊥A1C.在Rt△DA1C中，A1D＝3，CD＝5，∴A1C＝4.根据S△A1CD＝12A1D·A1C＝12A1O·CD，得到A1O＝125，在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝A1OA1B＝1255＝1225.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.8、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面