双曲线知识点与性质大全

双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F、2F的距离之差的绝对值等于定长1222,0aFFaa的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F、2F称为双曲线的焦点，定长2a称为双曲线的实轴长，线段12FF的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PFPFaFF，此时P点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值1ee的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.2、双曲线的简单性质标准方程22221,0xyabab22221,0yxabab顶点坐标,0Aa0,Ba焦点坐标左焦点1,0Fc，右焦点2,0Fc上焦点10,Fc，下焦点20,Fc虚轴与虚轴实轴长2a、虚轴长2b实轴长2a、虚轴长2b有界性xaya，对称性关于x轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称.3、渐近线双曲线22221,0xyabab的渐近线为22220xyab，即0xyab，或byxa.【注】①与双曲线22221xyab具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22220xyab；②渐近线为byxa的双曲线方程可以设为22220xyab；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点P到双曲线焦点F的距离称为焦半径.若00(,)Pxy为双曲线22221,0xyabab上的任意一点，1(,0)Fc，2(,0)Fc为双曲线的左、右焦点，则10||PFexa，20||PFexa，其中cea.5、通径过双曲线22221,0xyabab焦点F作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A、B两点，称线段AB为双曲线的通径，且22bABa.6、焦点三角形P为双曲线22221,0xyabab上的任意一点，1(,0)Fc，2(,0)Fc为双曲线的左右焦点，称12PFF为双曲线的焦点三角形.若12FPF，则焦点三角形的面积为：122cot2FPFSb.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b（虚半轴长）.8、双曲线22221,0xyabab的焦点三角形的内心的轨迹为0xay9、直线与双曲线的位置关系直线:0lAxByC，双曲线：22221,0xyabab，则l与相交22222aAbBC；l与相切22222aAbBC；l与相离22222aAbBC.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点(,)Pxy是双曲线22221,0xyabab上的动点，12,FF是双曲线的焦点，M是12FPF的角平分线上一点，且20FMMP，则OMa，即动点M的点的轨迹为222xyaxa.12、双曲线上任意两点的坐标性质1122,,,AxyBxy为双曲线22221,0xyabab上的任意两点，且12xx，则2221222212yybxxa.【推广1】直线l过双曲线22221,0xyabab的中心，与双曲线交于1122,,,AxyBxy两点，P为双曲线上的任意一点，则22APBPbkka（,APBPkk均存在）.【推广2】设直线110lykxmm：交双曲线22221,0xyabab于CD、两点，交直线22lykx：于点E．若E为CD的中点，则2122bkka.13、中点弦的斜率直线l过000,0Mxyy与双曲线22221,0xyabab交于,AB两点，且AMBM，则直线l的斜率2020ABbxkay.14、点(,)(0,0)Pxyxy是双曲线22221,0xyabab上的动点，过P作实轴的平行线，交渐近线于,MN两点，则PMPN定值2a.15、点(,)(0,0)Pxyxy是双曲线22221,0xyabab上的动点，过P作渐近线的平行线，交渐近线于,MN两点，则OMPNS定值2ab.【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20xy，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141xykk表示双曲线，则k的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148xy的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)xymnmn和双曲线221(0,0)xyabab有相同焦点1F、2F，P为两曲线的一个交点，则12PFPF_________.【变式5】如果函数2yx的图像与曲线22:4Cxy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．[1,1)B.1,0C.(,1][0,1)D.[1,0](1,)【变式6】直线2x与双曲线14:22yxC的渐近线交于BA,两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OBbOAaOP(ORba,,为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）A.222abB.2122baC.222abD.2212ab【变式7】设连接双曲线22221xyab与22221yxba的四个顶点为四边形面积为1S,连接其四个焦点的四边形面积为2S，则12SS的最大值为_________.例2、设12FF、分别是双曲线2219yx的左右焦点,若点P在双曲线上，且12=0PFPF，则12PFPF=_________.【变式1】过双曲线221109xy的左焦点1F的弦6AB，则2ABF（2F为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620xy的左、右焦点1F、2F，P是双曲线上的动点，且19PF，则2PF_________.例3、设12FF、是双曲线2214xy的两个焦点，点P是双曲线的任意一点，且123FPF，求12PFF的面积.例4、已知直线1ykx与双曲线2231xy有AB、两个不同的交点，如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值.例5、已知直线1ykx与双曲线2231xy相交于AB、两点，那么是否存在实数k使得AB、两点关于直线20xy对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124xy的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C:21(4)xyyx；（1）画出曲线C的图像；（2）若直线l：1ykx与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；（3）若0Pp，0p，Q为曲线C上的点，求PQ的最小值.【变式2】直线l：10axy与曲线C：2221xy.（1）若直线l与曲线C有且仅有一个交点，求实数a的取值范围；（2）若直线l被曲线C截得的弦长221PQa，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F是双曲线221412xy的左焦点，(14)A，,P是双曲线右支上的动点，求PFPA的最小值.【变式】P是双曲线221916xy的右支上一点，,MN分别是圆2254xy和2251xy上的点，则PMPN的最大值等于_________.例8、已知动圆P与两个定圆2251xy和22549xy都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【变式1】ABC的顶点为50A，,5,0B，ABC的内切圆圆心在直线3x上，则顶点C的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为7,0F，直线1yx与其相交于MN、两点，线段MN的中点的横坐标为23，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916xy，若点M为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点(0,2)P为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与P关于直线yx对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线1ymx与双曲线C的左支交于,AB两点，另一直线l经过点(2,0)M及AB的中点，求直线l在轴上的截距n的取值范围.【变式】设直线l的方程为1ykx，等轴双曲线C：222xya右焦点为2,0.（1）求双曲线的方程；（2）设直线l与双曲线的右支交于不同的两点AB、,记AB中点为M，求实数k的取值范围，并用k表示点M的坐标；（3）设点1,0Q，求直线QM在y轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C方程为：2212yx.（1）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点AB、，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值；（2）设直线l是圆O：222xy上动点00(,)Pxy（000xy）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点AB、，证明AOB的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12AA、在x轴上，其渐近线方程是233yx，双曲线过点6,6P.（1）求双曲线的方程；（2）动直线l经过12APA的重心G，与双曲线交于不同的两点MN、，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论.例13、已知点1F、2F为双曲线C：01222bbyx的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且3021FMF．圆O的方程是222byx．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P、2P，求21PPPP的值；（3）过圆O上任意一点00y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．例14、已知双曲线C：222210,0xyabab的一个焦点是22,0F，且ab3．（1）求双曲线C的方程；（2）设经过焦点2F的直线的一个法向量为)1,(m，当直线l与双曲线C的右支相交于BA,不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3)1(322yx上．（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于BA,两点，问是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．l