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初二平行四边形的性质和判定专题1．平行四边形的定义(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．(2)表示方法：平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线．平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法．①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是()．A．平行四边形ABCD表示为“ACDB”B．平行四边形ABCD表示为“ABCD”C．AD∥BC，AB∥CDD．对角线为AC，BO解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C.答案：C2．平行四边形的性质(1)平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在ABCD中，ABCD，ADBC.由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故ABCD.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°.(3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.图③(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD中，EF经过对角线的交点O，与AD和BC分别交于点E，F，则OE＝OF，且S四边形ABFE＝S四边形EFCD.【例2】ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，求AB，AD的长．分析：依题意画出图形，如图，△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，即AO＋AB＋BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)．因为OA＝OC，OB为公共边，所以AB－BC＝5(cm)．由AB＋BC＝302＝15(cm)可求AB，BC，再由平行四边形的对边相等得AD的长．解：∵△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，∴AO＋AB＋BO－(BO＋OC＋BC)＝5(cm)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，∴AB－BC＝5(cm)．∵ABCD的周长为30cm，∴AB＋BC＝15(cm)．∴AB－BC＝5，AB＋BC＝15，得AB＝10，BC＝5.∴AB＝10cm，AD＝BC＝5cm.3．平行四边形的判定(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理．(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．如图，连接BD，由AD＝BC，AB＝CD，可证明△ABD≌△CDB，所以∠CDB＝∠ABD，∠CBD＝∠ADB，从而得到AB∥CD，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形．其推理形式为：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．如图，由∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，可得∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°.从而得到AB∥DC，AD∥BC.由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形．(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其推理形式为：如图，∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．(1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由．解：因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA.又因为AO＝CO，∠AOB＝∠COD，所以△ABO≌△CDO.所以BO＝DO.所以四边形ABCD是平行四边形．4．三角形的中位线(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段．【例4】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是__________cm.解析：由三角形的中位线性质得，DF＝12BC，EF＝12AB，DE＝12AC，所以△DEF的周长＝12×10＝5(cm)．答案：55．两条平行线间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．如图所示，a∥b，点A在直线a上，过A点作AC⊥b，垂足为C，则线段AC的长是点A到直线b的距离，也是两条平行线a，b之间的距离．(1)如图，过直线a上点B作BD⊥b，垂足为D，则线段BD的长也是两条平行线a，b之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等．(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值．【例5】如图所示，如果l1∥l2，那么△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？解：△ABC的面积与△DBC的面积相等．因为l1∥l2，所以它们之间的距离是一个定值．所以△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形．所以S△ABC＝S△DBC.结论：l1上任意一点与B，C连接，构成三角形的面积都等于△ABC的面积，这样的三角形有无数个．6．平行四边形性质的应用平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键．【例6】如图，ABCD的对角线相交于点O，过O作直线EF，并与线段AB，CD的反向延长线交于E，F，OE与OF是否相等，阐述你的理由．解：OE与OF相等．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BE∥DF，OB＝OD，∴∠FDO＝∠EBO，∠E＝∠F.∴△BOE≌△DOF.∴OE＝OF.7．平行四边形的判定的应用熟练掌握判定定理是平行四边形的判定的关键．已学了平行四边形的五种判定方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边有关：(1)一种关于对边的位置关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)；(2)一种关于对边的数量关系(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；(3)一种关于对边的数量与位置关系(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．平行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握．判定平行四边形的一般思路：①考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等；②考虑对角关系：证明两组对角分别相等；③考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分．【例7】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°.已知：在四边形ABCD中，__________，__________；求证：四边形ABCD是平行四边形．分析：选用①③关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用①④关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选用②④关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；选用③④关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形．解：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．举例如下：已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A＝∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠B＝180°.∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．8．平行四边形的性质和判定的综合应用平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况：(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；(2)判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；(3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形．【例8】如图所示，在ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，AF与BE交于G，DF与CE交于H，连接EF，GH，试问EF与GH是否互相平分？为什么？解：EF与GH互相平分．理由：在ABCD中，∵ADBC，AE＝CF，∴AECF.∴DEBF.∴四边形AFCE，BEDF都是平行四边形．(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴AF∥CE，BE∥DF.∴四边形EGFH是平行四边形．(平行四边形的定义)∴EF与GH互相平分．9．三角形的中位线性质的应用三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值(计算角度、求线段的长度)、证明(证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等)、作图，且能解决生活实际问题．应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理．【例9】在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为()．A．9.5B．10.5C．11D．15.5解析：∵△EDF是△EAF折叠而形成的图形，∴△EDF≌△EAF.∴∠AEF＝∠DEF.∵AD是BC边上的高，由折叠可知AD⊥EF，∴EF∥CB.∴∠AEF＝∠B，∠BDE＝∠DEF.∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE＝AE.∴E为AB的中点．同理点F是AC的中点．∴EF是△ABC的中位线．∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE＋EF＋AF＝12×(AB＋BC＋AC)＝12×(12＋9＋10)＝15.5.答案：D10．平行四边形的性质探究题平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分几方面，因此，由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角．所以，要学会利用对比的方法正确区分平行四边形的判定定理和性质定理，正确地运用相关的结论解决相关的问题．平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和判定，构造出平行四边形．【例10】如图，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D，E，F分别在AC，AB，BC上，试探索PD＋PE＋PF与a的关系．解：如图，作DG∥BC交AB于点G，因为△ABC为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.所以∠A＝∠AGD＝∠ADG＝60°.所以GD＝AG.又可得EP＝GD，所以EP＝AG，DP＝GE.同理可得PF＝EB，所以PD＋PE＋PF＝a.11．平行