试卷创新见长

试卷创新见长，思维能力凸现——我看2009年上海高考数学理科试卷谷求华一．试卷所涉及的知识点情况。数学内容交集、并集、补集4数学内容复数的四则运算4充分与必要条件4实系数一元二次方程的解4函数的奇偶性4直线的点方向式方程16函数的单调性14两条直线的平行关系16函数的最值4点到直线的距离16反函数16圆的方程4对数函数的性质与图象14椭圆的标准方程与几何性质4对数方程14双曲线的标准方程与几何性质16函数的应用14异面直线4辅助角公式4二面角14半角的三角比4独立事件的概率4三角形面积公式4二项式定理18正弦函数与余弦函数的性质4+4+4统计实习4等差数列4+18极坐标4等比数列18数学能力数据分析4+4+4新增内容行列式4新定义的学习能力16算法4应用题4+14数学期望4数学思想方法数形结合4+4+4+4球表面积4分类讨论4+18整张试卷代数占96分，解析几何占32分，空间图形占22分。二．试卷所呈现出的三个区分特征：1．区分处理数量关系的强弱程度十分突出。数学能力包括敏锐的数量意识，今年高考试题在考查这一方面表现得很突出。比如，第4题关于算法初步；第13题关于报刊零售站的最佳位置；第17题关于统计知识应用于判断某公共卫生事件是否大规模感染；第20题关于用函数关系来描述学习某学科知识的掌握程度；第23题关于数的整除性等等。2．区分领悟概念本质的深浅程度十分突出。对数学概念的准确理解和应用，是解决数学问题的关键，今年高考试题在这方面下足了功夫。比如，第12题考查正弦函数与正切函数的和函数性质，它把两个基本三角函数的单调性和奇偶性揉合在一起，再与等差中项的性质进行组合，学生只有全部准确理解并熟练运用这些重要的概念才能答题。第14题关于函数图像特征与图形旋转，牵涉到圆的旋转以及圆与坐标轴相切的概念。第17题涉及多个统计量“总体均值、中位数、方差、众数”等等，理解了它们才能正确作出选择。第21题是有关双曲线的性质，要求学生理解渐近线的特征并运用数形结合来做，我想应该是命题者的本意。第22题关于抽象函数的反函数，学生辨析出“)1(xf的反函数”与“)1(1xf”两者的区别，是正确解答本题的基础。第23题应该在完全理解了等差数列和等比数列这两个概念的基础上，才能进行有效的探究。3．区分探究问题层次的高低程度十分突出。对探究能力的考查，已经喊了几年，我原来以为今年会出起点会比较低、有较明显目标的探究题，一看试卷发现今年考查的探究可以说是“诱敌深入”。最后两道大题，一道涉及抽象函数和反函数，另一道涉及等差数列和等比数列，它们都有探究的意思在里面，每个问题都没有确切指定的目标，要么让学生“判断是否存在…”、要么让学生“求出所有满足…”的对象，最后一小题干脆笼统地用一些字母来替代，抽象为一般的探究性问题。比如第22题，如果说第（2）题还可以用待定系数法来探究，那么第（3）题就全部放开了，让学生没有了方向感，有点无从下手，第23（3）题也是这样。三．试卷中值得商榷的方面：1．新增内容相对过多。多考新增内容，这是一个指向，让我们老师和学生重视基础，不要以为新增的内容不重要，不会怎么多考，从这个角度看，这一点是有其积极作用的。但是过犹不及，它以牺牲一些传统的、经典的和重要的知识点为代价，影响到某些能力的检测。比如不等式。2．大多试题起点要求过高。整张试卷的基础题不到90分，容易题集中在新增内容部分，除了近70分较容易的题外，大多都是比较难的，中档题很少。有相当部分试题，如果找对了思路和方法，做起来是不困难的，准头高。遗憾的是命题老师过高地估计了学生的水平，学生并不能充分分析出题意，找不到恰当的解题方法，因为题目所具有的思维量或者计算量压垮了考生的解题信心。比如，第11题要想到利用两个函数]1,0[,2sinxxy与]1,0[,xkxy图像间的关系，突出了数形结合思想；第12题要想到利用和函数)2,2(,tansinxxxy既是奇函数又是增函数；第13题要想到用分类检验的方法检测4,3,4,3,2yx等数值；第14题要想到把圆弧的旋转归结到圆的旋转，突出了整体思想；第17题要想到用排除法（即举反例）检测A、B、C三个选项，或者正面判断选项D则要用到反证法；第18题要分析出面积IIIISS,的变化规律，利用单调性判断就简单了，要么设角建立函数关系后用数形结合，就很费时；第21题想到利用渐近线的特征，找平行线后利用图形说道理，这样比较简单，如果用反证法就很费时费力（运算量不小）；第22题要想到公式xxff)]([1才能进行化简和转化；第23题需要有探究的意识和基本的探究方法；等等。3．个别参考答案欠妥。第20（1）题是要“证明：当7x时，掌握程度的增加量(1)()fxfx总是下降”。参考答案是：当7x时，0.4(1)()(3)(4)fxfxxx，而当7x时，函数(3)(4)yxx单调递增，且(3)(4)0xx，故函数(1)()fxfx单调递减，当7x时，掌握程度的增长量(1)()fxfx总是下降。本人认为，这不能算证明，而只能称之为解释或者说明，即以复合函数的单调性来描述它。参考答案也是学生学习的一个范本，从这一点上看，不利于我们平时的教学。本题应该用减函数的定义来证明：当7x时，0.4(1)()(3)(4)fxfxxx，设217xx，则440330{2121xxxx)4)(3()4)(3(02211xxxx，)4)(3(1)4)(3(12211xxxx，于是)()1()()1(2211xfxfxfxf，故函数(1)()fxfx单调递减，当7x时，掌握程度的增长量(1)()fxfx总是下降。四．试卷所透析出的三个教学暗示：1．教学要教全面，保证所有内容基本过关。试卷中的基础题只要知识点找准，计算不大意，得分就不会出意外。而试卷第17题的统计量“众数”，有些老师忽视它而未教，学生答题就存在知识盲区。比如第22题，一般情况下，)1(1xf并不是)1(xf的反函数，从本质来看，)1(1xf是先求)(xf的反函数)(1xf，再以1x代入到)(1xf所得的函数；而)1(xf的反函数是先把1x代入到)(xf后再求反函数。2．教学要教过程，保证解题思路条理清晰。试卷中相当部分题目是从课本中来的，如果平时注意到了数学方法的适用面，解题思路条理清晰，大多数题目是可以拿下的。比如，第11题属于非常规不等式，运用数形结合来解应该是很明显的、自然的。第12题首先要利用和函数)2,2(,tansinxxxy既是奇函数又是增函数得0)0(y，即0ka，再利用等差数列27项的对称性知014a。再比如，第17题的四个选项其实是某些统计“结果”，要根据已知结果来寻求条件，我们可以选用排除法来做，即举反例。对于A选项举反例是“0，0，1，1，4，4，4，4，4，8”，对于B选项举反例是“0，0，0，0，0，0，0，0，2，8”，对于C选项举反例是“0，0，1，1，1，3，3，3，3，8”，所以选D。如果正面来判断选项D正确，则我们用反证法即可，假设选项D不对，则至少有一天新增疑似病例超过7人，不妨设为8，则总体方差至少是36.3，所以假设不成立，故选项D正确。3．教学要教创新，保证思想方法灵活运用。学生普遍反映试卷难，其中一个很重要的原因在于学生不善于将已知的数学思想方法运用到解题，尤其是面对比较陌生的试题。比如，第14题比较难，作函数2642xxy，]6,0[x的图像需要联想到解析几何知识，图像是“圆弧13)2()3(yx，]6,0[x”，它按逆时针旋转到与y轴相切，此时转过的角就是的最大值。而圆弧怎样旋转才能与y轴相切是本题的一个疑难点！事实上，运用整体思想把圆弧扩充为圆，这样很容易看出只要把半径OA（圆心A的坐标为（3，-2））绕原点Ｏ旋转到x轴正半轴即可，此时32arctan，问题得到解答。再比如，第18题也是比较难的一道题，我们可以灵活运用数学思想方法，从定性分析和定量计算两个方面来进行求解。（1）定性分析：易知IVIISS,是定值，所以mSSIIII(其中m为定值)，当直线AB临近竖直时，0,IIIISS，随着直线AB的倾斜角逐渐变大的过程中，IIIS减小IS增大，且当倾斜角趋近于180时，IIIISS,0，所以此过程中有且仅有一个位置满足mSSIIII，即满足条件的直线ＡＢ只有一条。（2）定量计算：设OAB，则)2(121cot121IS，41IIS，121tan121IIIS，2IVS，代入题设中的等式并整理得212cot，此时运用数形结合可知，方程有唯一解。从这里可以看出，解题过程共分四步走：设元——建立函数关系——代入化简——数形结合，思路清晰流畅，利用函数思想和数形结合思想，步步为营化解难题。