指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a0，n，mN*，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义：1nnaa()mnmmnnaaa-1mnmnaa3．运算法则当a＞0,b＞0时有：（1）nmnmaaa；（2）mnnmaa；（3）0anmaaanmnm，；（4）mmmbaab.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(.要点二、根式的概念和运算法则1．n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=ny.n为奇数时，y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为00n；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n.2．两个等式（1）当1n且*nN时，nnaa；（2）)(||)(,为偶数为奇数nanaann要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且a≠1)的函数才是指数函数．像23xy，12xy，31xy等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果0a，则对于一些函数，比如(4)xy，当11,,24xx时，在实数范围内函数值不存在．②如果1a，则11xy是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义．要点二、指数函数的图象：y=ax0a1时图象a1时图象----图象要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a”和“01a”两种情形讨论。（2）指数函数xya与1xya的图象关于y轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律①xya②xyb③xyc④xyd则：0＜b＜a＜1＜d＜c观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点（0,1）又即：x∈(0,+∞)时，xxxxbadc（底大幂大）x∈(－∞,0)时，xxxxbadc（底小幂小）要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法：(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0ABAB；0ABAB；0ABAB；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1AB，或1AB即可．对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果01baNaa，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a0且a1，N0，bR.2.对数log0aNa，且a1具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即0N；(2)1的对数为0，即log10a；(3)底的对数等于1，即log1aa.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作.以e（e是一个无理数，2.7182e）为底的对数叫做自然对数，loglneNN简记作.要点二、对数的运算法则已知loglog010aaMNaaMN，且，、(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；logloglogaaaMNMN(2)两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；logloglogaaaMMNN(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；loglogaaMM要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：错误1：loga(MN)=logaMlogaN，错误2：(M·N)=logaM·logaN，要点三、对数公式1．对数恒等式：loglogabNaaNaNNb2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a≠1，M0的前提下有:(1))(loglogRnMMnaan令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即nbnMa)(，则naMbnlog所以得出结论:naaMMnloglog.(2))1,0(logloglogccaMMcca，令logaM=b，则有ab=M，则有)1,0(loglogccMacbc即Mabccloglog，即aMbccloglog，即)1,0(logloglogccaMMcca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log1logbbaaabba.对数函数及其性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=logax(a0，a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是0,，值域为R．2．判断一个函数是对数函数是形如log(0,1)ayxaa且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x．要点诠释：（1）只有形如y=logax(a0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log(1),2log,log3aaayxyxyx等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象0＜a＜1a＞1图象要点诠释：（1）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.（2）以1为分界点，当a，N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN0.（3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓。这刚好和指数函数的规律相反所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。要点四、反函数1．反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是B，根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出，得到x=g(y)。若对于y在B中的任何一个值，通过x=g(y)（这时候x=g(y)里面的y是自变量，x是因变量），x在A中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x=g(y)(x∈B)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x)。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f-1(x)的定义域．由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。变化关系如右图：要点诠释：不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x2．一般说来，单调函数有反函数．2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称．（2）若函数()yfx图象上有一点,ab，则,ba必在其反函数图象上，反之，若,ba在反函数图象上，则,ab必在原函数图象上．幂函数及图象变换【要点梳理】要点一、幂函数概念形如()yxR的函数，叫做幂函数，其中x是自变量，为常数.要点诠释：幂函数必须是形如()yxR的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：2423,1,2yxyxyx等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质各种幂函数的图象：(1)xy；(2)21xy；(3)2xy；(4)1xy；(5)3xy．要点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；(3)0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()afxkx是幂函数，求()fx的表达式，就应由定义知必有1k，即()afxx．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：2()fxx的图象变换，22(1),1,yxyx222,||yxyx（1）平移变换y=f(x)→y=f(x＋a)图象左（0a）、右（0a）平移y=f(x)→y=f(x)＋b图象上（b0）、下（b0